問題文全文(内容文)：
$a_{n}=\displaystyle \frac{{}_{ 2n+1 } C_n}{n!}$n自然数

（1）
$n \geqq 2,\displaystyle \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$を既約分数$\displaystyle \frac{q_{n}}{p_{n}}$と表す。$(p_{n} \geqq 1)$
$p_{n},q_{n}$を求めよ

（2）
$a_{n}$が整数となる$n(n \geqq 1)$を全て求めよ

出典：2018年東京大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$n$桁の自然数の総和$S_n$を$n$で表せ.

問題文全文(内容文)：
$Z=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{ 3 }i}{2}$

$Z+2Z^2+3Z^3+4Z^4+…+19Z^{19}+20Z^{20}$

出典：群馬大学　過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
初項3、交差$p$の等差数列を$\left\{a_n\right\}$とし、初項3、公比$r$の等比数列を$\left\{b_n\right\}$と
する。ただし、$p \ne 0$かつ$r \ne 0$とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
$a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$①

(1)$p$と$r$の値を求めよう。自然数$n$について、$a_n,a_{n+1},b_n$はそれぞれ
$a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p$　$\cdots$②
$a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np$　$\cdots$③
$b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}$
と表される。$r \ne 0$により、すべての自然数$n$について、$b_n \ne 0$となる。
$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=r$であることから、①の両辺を$b_n$で割ることにより
$\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$　$\cdots$④
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると
$\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)$$+\boxed{\ \ キ\ \ }$　$\cdots$⑤
となる。⑤が全ての$n$で成り立つことおよび$p \ne 0$により、$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$を得る。
さらに、このことから、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$を得る。
以上から、すべての自然数$n$について、$a_n$と$b_n$が正であることもわかる。

(2)$p=\boxed{\ \ ク\ \ },$　$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であるから、$\left\{a_n\right\},$　$\left\{b_n\right\}$の初項から第$n$項
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。
$\sum_{k=1}^na_k=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)$
$\sum_{k=1}^nb_k$$=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)$

(3)数列$\left\{a_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{c_n\right\}$が次を満たすとする。
$a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑥
$a_n$が正であることから、⑥を変形して、$c_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_n$を得る。
さらに、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$であることから、数列$\left\{c_n\right\}$は$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群
⓪すべての項が同じ値をとる数列である
①公差が0でない等差数列である
②公比が1より大きい等比数列である
③公比が1より小さい等比数列である
④等差数列でも等比数列でもない

(4)$q,u$は定数で$q \ne 0$とする。数列$\left\{b_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{d_n\right\}$が
次を満たすとする。
$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑦
$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であることから、⑦を変形して、$d_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)$
を得る。したがって、数列$\left\{d_n\right\}$が、公比が0より大きく1より小さい
等比数列となるための必要十分条件は、$q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }$かつ$u=\boxed{\ \ テ\ \ }$
である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
数列$1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9,1,・・・$において、次の問いに答えよ。
ただし、$k,m,n$は自然数とする。
（1）$k+1$回目に現れる1は第何項か。
（2）$m$回目に現れる17は第何項か。
（3）初項から$k+1$回目の1までの項の和を求めよ。
（4）初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_n \gt 1300$となる最小の$n$を求めよ。