問題文全文(内容文)：
整数$m,n$をすべて求めよ.
$m^4+n^4-2mn=13$

問題文全文(内容文)：
あなたはネコを見つけられるか？
猫は毎晩となりの箱に移動する。
開けられる箱は毎朝ひとつだけ。

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \sum _{n=1}^{2022}{n}^{2022}}$
$=1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+･･････$
$+{2021}^{2022}+{2022}^{2022}$
を13で割った余りを求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
円周上に15個の点$P_0,P_1,\dots ,P_{14}$が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点$P_0$に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先
の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。
この操作を繰り返す。例えば、石が点$P_5$にあるとき、さいころを投げて6の目が
出たら石を点$P_{10}$に移動させる。次に、5の目が出たら点$P_{10}$にある石を
点$P_7$に移動させる。

(1)さいころを5回投げて、偶数の目が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$回、奇数の目が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$回
出れば、点$P_0$にある石を点$P_1$に移動させることができる。このとき、
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},$　$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$は、不定方程式$5x-3y=1$の整数解に
なっている。

(2)不定方程式
$5x-3y=8$　$\cdots$①
の全ての整数解$x,y$は、$k$を整数として

$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}\times 8+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}k,$　$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\times 8+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}k$

と表される。①の整数解$x,y$の中で、$0\leqq y<\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$を満たすものは

$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}},$　$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$

である。したがって、さいころを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$回投げて、偶数の目が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$回、
奇数の目が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$回出れば、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させることが
できる。

(3)(2)において、さいころを$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$回より少ない回数だけ投げて、点$P_0$
にある石を点$P_8$に移動させることはできないだろうか。

(*)石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると
元の点に戻る。

(*)に注意すると、偶数の目が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$回、奇数の目が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$回出れば、
さいころを投げる回数が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$回で、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させる
ことができる。このとき、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$　である。

(4)点$P_1,P_2,\cdots ,P_{14}$のうちから点を一つ選び、点$P_0$にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを
投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回投げて点$P_0$にある石を
点$P_2$へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と
奇数の目が1回ずつ出れば、点$P_0$にある石を点$P_2$へ移動させることができる。
したがって、点$P_2$を選んだ場合には、この最小回数は2回である。
点$P_1,P_2,\cdots ,P_{14}$のうち、この最小回数が最も大きいのは点$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$であり、
その最小回数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$回である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$の解答群
⓪$P_{10}$
①$P_{11}$
②$P_{12}$
③$P_{13}$
④$P_{14}$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$x,y,z$は自然数

（1）
$x+y+z=xyz(x\leqq y\leqq z)$を満たす$(x,y,z)$をすべて求めよ

（2）
$x^3+y^3+z^3=xyz$を満たす$(x,y,z)$は存在しないことを示せ

出典：2006年東京大学　過去問