問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x\ \tan^2x\ dx$を計算せよ。

出典：2014年佐賀大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{3}\displaystyle \frac{log(x+1)}{x^2}dx$

出典：2010年広前大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2x dx$

出典：2024年高知工科大学

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$　xy平面において、x座標およびy座標が共に整数であるような点を格子点と呼ぶ。xy平面上の相異なる2つの格子点を端点とする折れ線のうち、x座標またはy座標が等しい格子点どうしを結ぶ線分のみから構成され、かつ同じ点を2度通ることはないものを、格子折れ線と呼ぶ。ここで格子折れ線の向きは考慮せず、端点および通過する点がすべて等しい格子折れ線は同じものとする。また、自然数$n$に対し、
0≦$x$≦$n$　かつ　0≦$y$≦1
を満たす格子点全体の集合を$V_n$とする。さらに、$V_n$に属する格子点をすべて通り、かつ$V_n$に属さない格子点は通らない格子折れ線全体の集合を$L_n$とする。たとえば、7つの格子点(0,1),(0,0),(1,0),(1,1),(4,1),(4,0),(2,0)を順に結んだ折れ線は$L_4$に属する。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$L_1$および$L_2$に属する格子折れ線をすべて図示せよ。
(2)$L_4$に属する格子折れ線のうち、両端点の$x$座標の差が3以上となるものをすべて図示せよ。
(3)$n$≧3のとき、$L_n$に属する格子折れ線のうち、両端点の$x$座標の差が$n$-2となるものの個数を求めよ。
(4)$L_n$に属する格子折れ線の個数$l_n$を$n$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
整数からなる数列$\{a_n\}~(n=1,2,3,\cdots)$を次の規則1、規則2により定める。
（規則1）$a_1=0,a_2=1$である。
（規則2）$k=1,2,3,\cdots$について、初項から第$2^k$項までの値のそれぞれに$1$を加え、それらすべてを逆の順序にしたものが第$(2^k+1)$項から第$2^{k+1}$項までの値と定める。
例えば、初項と第2項までのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,1$を得る。これより、初項から第4項までは$0,1,2,1$となる。同様に、これらのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,3,2,1$となる。これより、初項から第8項までは$0,1,2,1,2,3,2,1$となる。
(1) 以上の規則により得られる数列$\{a_n\}$において、$a_{10}=\boxed{ア}$であり、$a_{16}=\boxed{イ}$である。また第$2^k$項$(k=5,6,7,\cdots)$の値は$\boxed{ウ}$である。

(2) $a_{518}$を求めたい。上記の規則2によれば、$1 \leqq i \leqq 2^k$を満たす$i$に対して$a_1$に$1$を加えた数と第$\boxed{エ}$項が等しいと定めている。実際に、$2^b < 518 < 2^{b+1}$を満たすような整数$b$は$\boxed{オ}$であることに注意すれば、$a_{518}=\boxed{カ}$である。
エの解答群
⓪ $2^k+i-1$ ① $2^k+i$ ② $2^k+i+1$ ③$2^k+2i$ ④ $2^k+2i+1$
⑤ $2^k-i-1$ ⑥ $2^{k+1}-i$ ⑦ $2^{k+1}-i+1$ ⑧ $2^{k+1}-2i-1$ ⑨ $2^{k+1}-2i$

(3) 点$\textrm{P}_k (k=1,2,3,\cdots)$を次のように定める。
数列$\{a_n\}$の初項から第$2^k$項に着目し、$a_n$を4で割った余りにしたがって、ベクトル$\vec{e_n}$を
\begin{eqnarray}
\vec{e_n}
=
\begin{cases}
(1,0) & a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) & a_nを4で割った余りが1のとき\\
(-1,0) & a_nを4で割った余りが2のとき\\
(0,-1) & a_nを4で割った余りが3のとき
\end{cases}
\end{eqnarray}
によって定め、点$\textrm{P}_1$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}$とし、点$\textrm{P}_k (k=2,3,4,\cdots)$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+\cdots+\vec{e_{2^k}}$とする。たとえば、$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)$である。$\{a_n\}$を定める規則に注目すると、$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k+1}}|$は$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k}}|$の$\boxed{キ}$倍であり、$\angle{\textrm{P}_k\textrm{OP}_{k+1}}=\boxed{ク}$である。このことから$\overrightarrow{\textrm{OP}_{99}}$は$(\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。
キの解答群
⓪ $\dfrac18$ ① $\dfrac14$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac{\sqrt{2}}2$ ④ $1$
⑤ $\sqrt2$ ⑥ $2$ ⑦ $2\sqrt2$ ⑧ $4$ ⑨ $8$
クの解答群
⓪ $15^{\circ}$ ① $30^{\circ}$ ② $45^{\circ}$ ③ $60^{\circ}$ ④ $75^{\circ}$
⑤ $90^{\circ}$ ⑥ $105^{\circ}$ ⑦ $120^{\circ}$ ⑧ $135^{\circ}$ ⑨ $150^{\circ}$
ケ、コの解答群
⓪ $-2^{99}$ ① $-2^{98}$ ② $-2^{49}$ ③ $-2^{48}$ ④ $0$
⑤ $1$ ⑥ $2^{48}$ ⑦ $2^{49}$ ⑧ $2^{98}$ ⑨ $2^{99}$