問題文全文(内容文)：
の4枚のカードを
${▢}^{▢}\times ▢▢$のように並べる
式の値が3の倍数となる並べ方は何通り？
2024早稲田実業学校

問題文全文(内容文)：
$\frac{252}{n}$がある自然数の2乗となる最も小さい自然数nは？
2023茨城県

問題文全文(内容文)：
21¹⁰を400で割った余りを求めよ。

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \frac{n^5}{15}+{\displaystyle \frac{n^4}{6}+{\displaystyle \frac{n^3}{3}+{\displaystyle \frac{n^2}{3}+{\displaystyle \frac{n}{10}}}}}}$は$n$が自然数なら自然数であることを示せ

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$${\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-}$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$　である。

(2)$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})}}$$-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left({\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}}\right)$$-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left({\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{k+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{k+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}}\right)}$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\left({\displaystyle \frac{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{k+1}=}$${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^n}}$

が成り立つことを利用すると

$b_n={\displaystyle \frac{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}})}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^n}$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n={\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}^{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}(n^2-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}})+$${\displaystyle \frac{(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}})(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}})}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$

で与えられる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}$である。

2020センター試験過去問