福田の数学〜浜松医科大学2022年医学部第１問〜媒介変数表示で表された曲線の長さと接線の傾きと体積

問題文全文(内容文)：
媒介変数

t (t ≧ 0)

に対して、

x = \frac{4}{\sqrt{3}} t^{\frac{3}{2}}, y = 2 t

で表される曲線C上に
点

P_{1}

と

P_{2}

がある。原点から点

P_{1}

までの曲線の長さは

\frac{28}{9}

であり、点

P_{2}

における曲線C
の接線の傾きは

\frac{1}{3}

である。以下の問いに答えよ。
(1)点

P_{1}

の座標

(x_{1}, y_{1})

を求めよ。
(2)点

P_{2}

の座標

(x_{2}, y_{2})

を求めよ。
(3)曲線Cとy軸、および2直線

y = y_{1}, y = y_{2}

で囲まれた図形を、y軸の周りに1回転
してできる回転体を考える。この回転体の体積を求めよ。

2022浜松医科大学医学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#浜松医科大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
媒介変数

t (t ≧ 0)

に対して、

x = \frac{4}{\sqrt{3}} t^{\frac{3}{2}}, y = 2 t

で表される曲線C上に
点

P_{1}

と

P_{2}

がある。原点から点

P_{1}

までの曲線の長さは

\frac{28}{9}

であり、点

P_{2}

における曲線C
の接線の傾きは

\frac{1}{3}

である。以下の問いに答えよ。
(1)点

P_{1}

の座標

(x_{1}, y_{1})

を求めよ。
(2)点

P_{2}

の座標

(x_{2}, y_{2})

を求めよ。
(3)曲線Cとy軸、および2直線

y = y_{1}, y = y_{2}

で囲まれた図形を、y軸の周りに1回転
してできる回転体を考える。この回転体の体積を求めよ。

2022浜松医科大学医学部過去問

投稿日：2022.05.31

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}

z ≧ 0

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

z ≧ 0

xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

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福田の数学〜九州大学2022年理系第５問〜媒介変数表示のグラフの対称性とグラフの追跡

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x y

平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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【数Ⅲ】式と曲線：極方程式の直線のなす角

単元： #平面上の曲線#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

教材： #サクシード#サクシード数学Ⅲ#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2直線

r (\sqrt{3} \cos θ + \sin θ) = 4

r (\sqrt{3} \cos θ - \sin θ) = 2

の交点の極座標を求めよ。またこの2直線のなす鋭角も求めよ。
（出典　数研出版サクシード数学Ⅲ）

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福田の数学〜早稲田大学2021年社会科学部第１問〜三角関数で表された点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　a,bを定数とし、関数

f (x) = x^{2} + a x + b

　とする。方程式

f (x) = 0

の2つの解

α, β

が次式で与えられている。

α = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ}

β = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ}

ここで

θ

は、

0 < θ < π

の定数である。次の問いに答えよ。

(1) a, b

を

θ

を用いて表せ。

(2) θ

が

0

< θ π

で変化するとき、放物線

y = f (x)

の頂点の軌跡を求めよ。

(3) \int_{0}^{2 \sin θ} f (x) d x = 0

　となる

θ

の値を全て求めよ。

2021早稲田大学社会科学部過去問

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福田の数学〜九州大学2022年理系第５問の背景を考える〜内サイクロイド曲線（ハイポサイクロイド、アステロイド）の媒介変数表示

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上の曲線#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜浜松医科大学2022年医学部第１問〜媒介変数表示で表された曲線の長さと接線の傾きと体積

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