問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロ を1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。 (規則) ・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。 ・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。 ・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。 例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy 座標が2である条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1
(1)　袋の中に5枚のコインが入っており、そのうち2枚には両面にAが書かれており、残り3枚には片面にA、もう一方の面にBが書かれている。
(ⅰ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になる確率を求めよ。
(ⅱ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になった。このとき、下の面にもAが書かれている確率を求めよ。
(2)　多項式$(x-1)^{99}$を$x^2$で割った時の余りを求めよ。また、整数$99^{99}$を10000で割った時の余りを求めよ。
(3)　$12^{12}$の桁数を求めよ。
(4)$\displaystyle z=\frac{-\sqrt{3}+i}{1+i}$とする。
(ⅰ)zを極形式で表せ。
(ⅱ)nを正の整数とする。$z^n$が実数となるような最小のnを求めよ。

大問2
　数列${a_n}$の初項$a_1$から第n項$a_n$までの和を$S_n$、数列${b_n}$の初項$b_1$から第n項$b_n$までの和を$T_n$をとするとき
$a_1=2、b_1=0、a_{n+1}=2T_n+2、b_{n+1}=2S_n$　が成り立つ。
(1)　$a_2、b_2$を求めよ
(2)　$a_{n+1}、b_{n+1}$を$a_n、b_n$を用いて表せ。
(3)　一般項$a_n$を求めよ。

大問3
　aは実数の定数とし、関数f(x)を
$f(x)=e^{-x}(a-sinx-cosx)　(0＜x＜2π)$により定める。
(1)f(x)が極値を持つとき、aの値の範囲を求めよ。
(2)f(x)が極値を2つ持つときを考える。極値の積が負となるとき、aの値の範囲を求めよ。また、極値の積が$\displaystyle \frac{-e^{-3π}}{2}$となるときのaの値を全て求めよ。

大問4
AB=1、AC=3、BC=$2\sqrt{3}$である三角形ABCがある。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}、\overrightarrow{AC}=\vec{c}$とする。
(1)　内積$\vec{b}･\vec{c}$の値を求めよ。
(2)　s,tを実数とし、$\overrightarrow{AP}=s\vec{b}+t\vec{c}$とする。AB⊥BP、AC⊥CPであるとき、s,tの値を求め、さらに｜$\overrightarrow{AP}$｜を求めよ。
(3)点Qが三角形ABCの外接円上を動くとき、三角形BCQの面積を最大にするQを$Q_0$とする。$\overrightarrow{AQ_0}$を$\vec{b},\vec{c}$を用いて表せ。

大問5
　$0≦x＜π$において定義された関数
$f(x)=\displaystyle \frac{2sinx}{1+cosx}、g(x)=\frac{\sqrt{3}}{1+cosx}$　
があり、曲線y=f(x)を$C_1$、曲線y=g(x)を$C_2$とする。
(1)　$C_1、C_2$の共有点のx座標を求めよ
(2)(ⅰ)不定積分$\int f(x)dx$を求めよ
(ⅱ)$tan\frac{2}{x}$の導関数をcosxを用いて表せ
(3)$C_1、C_2$およびy軸の3つで囲まれる部分の面積を$S_1$とし、$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする。$S_1$と$S_2$の大小を比較せよ。ただし、自然対数の底eについて、2.7＜e＜2.8であることは用いてよい。

大問6
正の整数Nを3で割った時の余りは2である。
(1)正の整数a,bを3で割った時の余りをそれぞれ$r_a、r_b$とする。ab=Nが成り立つとき、$r_a、r_b$の組をすべて求めよ。
(2)Nの正の約数の総和を3で割った時の余りを求めよ。
(3)Nの正の約数の逆数の総和を$\displaystyle \frac{q}{p}$（ただし、pとqはともに正の整数で最大公約数は1である）と表したとき、qは3の倍数であることを示せ。

問題文全文(内容文)：
初項$2p^2$、公比pの等比数列{$a_n$}がある。ただし、pは実数の定数とする。無限 等比級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$が収束し、その和が1であるとき、次の問に答えよ。
(1)p の値を求めよ。
(2)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の体積を$V_n$とする。無限 級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V_n$は収束するか。収束するときはその和を求め、発散するとき はそのことを示せ。
(3)母線の長さが1、高さが$a_n$の円錐の側面積を$T_n$とす る。無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}T_n$は収束するか。収束するときはその和を求め、発散 するときはそのことを示せ。

問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式$2x^2-3x+1＜0$を解け。
(2)$(3x+y)^4$を展開したときの$x^2y^2$の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線$l_1:3x-y+5=0,l_2:mx+2y+4=0$が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式$4^x=2\sqrt{2}$を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条件でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$P(x)=x^3+(2a-1)x^2-(a^2+2a-2)x+b$があり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、$\displaystyle\frac{y-a}{x-2}$の最大値をM(a)とする。M($\frac{1}{2}$)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=$\frac{π}{2}$,∠AOB=θ(0＜θ＜$\frac{π}{4}$)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) $BP^2$をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=x^3+kx^2-kx+k^2$がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列{$a_n$}を$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}},a_2=\sqrt{2},a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}=n+1(n=1,2,3,...)$により定める。また、数列{$b_n$}を$b_n=a_{n+1}a_{n}(n=1,2,3,･･･)$により定める。
(1)$b_1$を求めよ。また、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(2)数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
(3)$c_n=\displaystyle\frac{\sqrt{2}a_n}{n}(n=1,2,3,…)$とおく。$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ。また、数列{$c_n$}の一般項を求めよ。
(4)$a_n＞50$を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^N\frac{2k+1}{{a_{n+1}}^2{a_n}²}$を求めよ。