問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$南北方向にm区画、東西方向にn区画に区切られた長方形の土地がある。
この土地のそれぞれの区画にm種類の作物を1種類ずつ植える。ただし、南北方向に
は同じ種類の作物が植えられている区画はないようにする。このとき、東西方向に
隣り合う区画に同じ種類の作物が植えられている場合には、それらの区画は連結
した1個の畑とみなすとする。例えば、南北方向に3区画、東西方向に5区画で、
A,B,C3種類の作物を次のように植えた場合、畑が11個とみなす。
(1)$m=3$の時を考える。$n=1$ならば、畑の数は常に3個で、1通りある。
$n=2$ならば、畑の数は3個、5個、6個で3通りある。$n=3$ならば、畑の数は
$\boxed{\ \ ク\ \ }$通りある。$n=10$ならば、畑の数は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$通りある。
(2)$m=3$で$n=3$のとき、畑の数が8個になる植え方は$\boxed{\ \ コ\ \ }$通りある。
(3)$m=6$のときを考える。各列の南北方向の6区画に作物を植える植え方は6!通り
あるが、それらすべてが等確率になるように植えることにする。$n=2$のとき、
畑が8個である確率は$\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$であり、畑が9個である確率は$\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}$であり、
畑が10個である確率は$\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}$である。$n=3$のとき、
畑が10個である確率をpとすると$\boxed{\ \ け\ \ }$である。

$\boxed{\ \ け\ \ }$の選択肢:
$(\textrm{a})p \geqq \frac{1}{100}　　(\textrm{b})\frac{1}{200} \leqq p \lt \frac{1}{100}　　(\textrm{c})\frac{1}{500} \leqq p \lt \frac{1}{200}$
$(\textrm{d})\frac{1}{1000} \leqq p \lt \frac{1}{500}　　(\textrm{e})\frac{1}{2000} \leqq p \lt \frac{1}{1000}　　(\textrm{f})\frac{1}{5000} \leqq p \lt \frac{1}{2000}$
$(\textrm{g})\frac{1}{10000} \leqq p \lt \frac{1}{5000}　　(\textrm{h})p \lt \frac{1}{10000}$

2021上智大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (2)袋の中に赤玉5個と白玉5個が入っている。次の規則に従って袋から玉を無作為に取り出す。
ステップ1. 袋から玉を3個取り出す。
ステップ2. ステップ1で取り出した玉の中に含まれている赤玉の数と同じ数の玉を袋から取り出す。

このとき、2回取り出した玉の中で赤玉が合計3個となる事象の確率を求めよ。
ただし、ステップ1の後、取り出された玉を袋に戻さない。

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを繰り返し投げ、次の規則に従って数直線上の点Pを動かす。
・原点から出発して、1回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
・2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・以下同様に、直前の回で点Pgaとまった位置から出発して、奇数回目の移動では出た目の数だけ点Pを負の方向に動かし、偶数回目の移動では出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
例えば、さいころを4回投げて順に5,5,2,6の目が出た場合、点Pの座標は順に、-5,0,-2,4となる。
(1)2回目の移動後に点Pの座標が0となる確率は(ア)/(イ)、4となる確率は(ウ)/(エオ)、5となる確率は(カ)/(キク)である。
(2)4回目の移動後に点Pの座標が9となるのは、点Pの座標が2回目の移動後に(ケ)となり、4回目の移動後に9となる場合、または点Pの座標が2回目の移動後に(コ)となり、4回目の移動後に9となる場合のいずれかである。ただし、(ケ)と(コ)の順序は問わない。
よって、4回目の移動後に点Pの座標が9となる確率は(サ)/(シスセ)である。
また、4回目の移動後に点Pの座標が9であったとき、3回目の移動後の点Pの座標が4である条件付き確率は(ソ)/(タ)である。
(3)7回目の移動後に点Pの座標が13となる確率は(チ)/(ツ)^(テ)である。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

当たりくじが$3$本入っている$9$本のくじがある。
このくじを無作為に$1$本引き、
当たりくじかどうかを確認してから元に戻す試行を、
当たりくじが出るまで繰り返す。
当たりくじが出たときのみ得点を得ることができ、
$n$回目にの試行で当たりくじが出た場合、
得られる得点は$50n$点とする。

$n$回目に得られる得点の期待値を$E_n$とする。
ただし、$n$は自然数とする。

(1)$5$回目までに当たりくじが出る確率は$\boxed{ノ}$である。

(2)$\dfrac{E_n}{E_{n+1}}=\dfrac{10}{7}$であるとき、$n=\boxed{ハ}$である。

(3)$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{E_n}{E_{n+1}}$を求めると$\boxed{ヒ}$である。

(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}E_k$を$n$の式で表すと$\boxed{フ}$であり、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}E_k$を求めると$\boxed{ヘ}$である。

ただし、$\vert r \vert \lt 1$を満たす実数$r$に対し、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n \times r^n=0$が

成り立つこととする。

$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題

問題文全文(内容文)：
箱Aには赤玉3個と白玉2個、箱Bには赤玉と白玉2個ずつ入っている。
(1)箱Aから玉を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。
(2)箱Aから玉を2個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから玉を2個同時に取り出すとき、それらが2個とも赤玉である確率を求めよ。