問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ 実数全体で定義された連続な関数f(x)に対し、
$g(x)$=${\displaystyle {\int }_0^{2x}{e}^{-f(t-x)}dt}$
とおく。
(1)f(x)=xのとき、g(x)=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。
(2)実数全体で定義された連続な関数f(x)に対し、g(x)は奇関数であることを示しなさい。
(3)f(x)=$\sin x$のとき、g(x)の導関数g'(x)を求めると、g'(x)=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。
(4)f(x)が偶関数であり、g(x)=$x^3$+3xとなるとき、f(x)=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$である。このとき、${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$の値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$である。

2020慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
一橋大学2018年第5問
aを実数とし, $f(x)=x-x³,g(x)=a(x-x²)$とする。2つの曲線$y=f(x),y=g(x)$は$0<x<1$の範囲に共有点をもつ。
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)y=f(x)とy=g(x)で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるようなaの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
aは$0<a\leqq \frac{\pi }{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin (\frac{\pi }{4}+ax)\cos (\frac{\pi }{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*)　　${\int }_0^{1}f(x)dx=1$
(2)$0\leqq b<c\leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b)\leqq {\int }_b^{c}f(x)dx\leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\
[試行]n個の数$1,2,\dots \dots ,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\dots \dots ,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、

(**)$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S_{n,k,i}}{k}={\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。

2022東京工業大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
四面体OABCが
$OA=4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt{3}$
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、$\mathrm{△}OAP$の重心をGとする。
このとき、次の各問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{PG}∟\overrightarrow{OA}$を示せ。
(2)Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。

2022京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
複素数$a$に対してその共役な複素数$\overline{a}$で表す。

$a$を実数でない複素数とする。複素数平面内の円$C$が$1,-1,a$を通るならば,$C$は-${\displaystyle \frac{1}{\overline{a}}}$も通ることを示せ。

京都大過去問