福田の数学〜千葉大学2023年第9問〜関数の増減と最大Part2

問題文全文(内容文)：

9

　関数

f (x)

と実数

t

に対し、

x

の関数

t x

f (x)

の最大値があればそれを

g (t)

と書く。
(1)

f (x)

x^{4}

のとき、任意の実数

t

について

g (t)

が存在する。この

g (t)

を求めよ。
以下、関数

f (x)

は連続な導関数

f^{″} (x)

を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)

f^{'} (x)

は増加関数、すなわち

a

＜

b

ならば

f^{'} (a)

＜

f^{'} (b)

(ii)

lim_{x \to - \infty} f^{'} (x)

- \infty

　かつ　

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

\infty

(2)任意の実数

t

に対して、

x

の関数

t x

f (x)

は最大値

g (t)

を持つことを示せ。
(3)

s

を実数とする。

t

が実数全体を動くとき、

t

の関数

s t

g (x)

は最大値

f (s)

となることを示せ。

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

9

　関数

f (x)

と実数

t

に対し、

x

の関数

t x

f (x)

の最大値があればそれを

g (t)

と書く。
(1)

f (x)

x^{4}

のとき、任意の実数

t

について

g (t)

が存在する。この

g (t)

を求めよ。
以下、関数

f (x)

は連続な導関数

f^{″} (x)

を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)

f^{'} (x)

は増加関数、すなわち

a

＜

b

ならば

f^{'} (a)

＜

f^{'} (b)

(ii)

lim_{x \to - \infty} f^{'} (x)

- \infty

　かつ　

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

\infty

(2)任意の実数

t

に対して、

x

の関数

t x

f (x)

は最大値

g (t)

を持つことを示せ。
(3)

s

を実数とする。

t

が実数全体を動くとき、

t

の関数

s t

g (x)

は最大値

f (s)

となることを示せ。

投稿日：2023.08.07

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

関数

f (x) = x^{5} - 2 x^{3} + 9 x

について考える。実数

t

に対して

y = f (x)

上の点(

t, f (t)

)における接線と

x

軸の交点の

x

座標を

g (t)

とおく。
また、正の実数

t

に対して

h (t) = \frac{g (t)}{t}

とおく。次の問いに答えよ。
(1)

g (t)

を求めよ。
(2)

h^{'} (t) = 0

を満たす正の実数

t

を求めよ。
(3)実数

p

は、すべての正の実数

t

に対して|

h (t)

≦ p

を満たすとする。
このような

p

の最小値を求めよ。
(4)

a

を定数とする。

a_{1} = a, a_{n + 1} = g (a_{n})

(n = 1, 2, 3. . .)

で定められる数列

{a_{n}}

に対して、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

となることを示せ。

2021北里大学医学部過去問

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大学入試問題#14　津田塾大学(2021)　微積の応用

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x ≦ \frac{π}{x}

f (x) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin | x - t | d t

の最小値、最大値を求めよ。

出典：2021年津田塾大学　入試問題

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関数はパターンだ！！宮崎学園　（宮崎）

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指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
点Dの座標は？
＊図は動画内参照
宮崎学園高等学校

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【数Ⅲ】【微分とその応用】微分計算の基本1 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
微分しなさい

y = (x + 2) (x - 1) (x - 5)

y = (x^{3} - x) (x^{2} + 1) (x - 1)

y = \frac{x}{(1 + x^{3})^{2}}

y = \frac{1}{x \sqrt[4]{x}}

y = x \sqrt{x^{2} + 2}

y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

f (x) = \frac{1}{x^{3} + 1}

の逆関数

f^{- 1} (x)

の

x = \frac{1}{9}

における微分係数を求めよ。

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和歌山大微分 2接線の直交条件 Mathematics Japanese university entrance exam

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
和歌山大学過去問題

C : y = x^{3} - k x

C上の点Pにおける接線がCと点Qで交わり、Qにおける接線と直交する。
実数kの範囲を求めよ。

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