問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の

球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする

半径$2$の球面上を$D$とする。

(1)$p,q$を実数とする。

$xy$平面上の直線$y=px+q$は、

球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と

点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって

できる円と点$A_2$で接し、かつ

$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。

(2)$r,s$を実数とする。

$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と

$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、

球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で

接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。

$r$と$s$の値を求めよ。

以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、

$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。

また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、

$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。

$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を

$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を

$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。

(3)$G$の座標を求めよ。

(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。

$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。

$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題

問題文全文(内容文)：
(3) $\sum_{k=1}^{n} \vec{P_{2k-1}}$ を $\vec{P_1}$ を用いて表せ。ただし，$\sum_{k=1}^{n} \vec{P_{2k-1}} = \vec{P_1} + \vec{P_3} + \vec{P_5} + \dots + \vec{P_{2n-1}}$ を表すとする。
(4) 点 $\text{B}_{2n}$ の座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$ の辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。このとき、等式 $2AB^{2}+AC^{2}=3(AD^{2}+2BD^{2})$ が成り立つことを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = -2$ ,
$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$とする。
(1) $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ の大きさを求めよ。
(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。