問題文全文(内容文)：
$a_{n}=n3^n_{100}C_{n}$
$b_{n}=n^22^n_{100}C_{n}$
$(n=1,2,3…100)$

（1）
$a_{n}$が最大となる$n$

（2）
$b_{n}$が最大となる$n$

出典：慶應義塾　過去問

問題文全文(内容文)：
$a_n=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 5 }}${$(\displaystyle \frac{5+\sqrt{ 5 }}{2})^n-(\displaystyle \frac{5-\sqrt{ 5 }}{2})^n$}

（1）
$a_{n+2}$を$a_{n+1},a_{n}$を用いて表せ

（2）
$S_{n+1}$を$a_{n}$の1次式で表せ

出典：1996年三重大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$1,11,111,1111,…$
第$n$項と初項から第$n$項までの和を求めよ

出典：東京薬科大学　過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(5)3進法で表された3n桁の整数
$\overbrace{ 210210\cdots210_{(3)}}^{ 3n桁 }$
がある(ただし、nは自然数とする)。この数は、$1 \leqq k \leqq n$を満たす全て
の自然数$k$に対して、最小の位から数えて3k番目の位の数が$2、3k-1$番目の位
の数が$1、3k-2$番目の位の数が0である。この数を10進法で表した数を$a_n$
とおく。
$(\textrm{i})a_2=\boxed{\ \ ク\ \ }$である。

2021慶應義塾大学薬学部過去問
$(\textrm{ii})a_n$をnの式で表すと、$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$　数列$\left\{a_n\right\}$に対して、
$S_n=\sum_{k=1}^na_k　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。$\left\{a_n\right\}$は、$a_2=1,a_6=2$および
(*)$S_n=\frac{(n-2)(n+1)^2}{4}a_{n+1}　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。

(1)$a_1=-\boxed{\ \ ア\ \ }$である。(*)で$n=4,5$とすると、$a_3+a_4$と$a_5$の関係が2通り定まり、
$a_5=\boxed{\ \ イ\ \ }$と求まる。さらに(*)で$n=3$として、$a_3=\boxed{\ \ ウエ\ \ },a_4=\boxed{\ \ オカ\ \ }$と求まる。

(2)$n \geqq 2$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから(*)とあわせて
$(n-\boxed{\ \ キ\ \ })(n+\boxed{\ \ ク\ \ })^2a_{n+1}=(n^3-\boxed{\ \ ケ\ \ }n^2+\boxed{\ \ コ\ \ })a_n　(n=2,3,\ldots)$

ゆえに、$n \geqq 3$ならば$(n+\boxed{\ \ サ\ \ })a_{n+1}=(n-\boxed{\ \ シ\ \ })a_n$となる。そこで、$n \geqq 3$に
対して$b_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_n$とおくと、漸化式
$b_{n+1}=b_n　(nz-3,4,5,\ldots)$
が成り立つ。ただしここに、$r \lt s \lt t$として$r=\boxed{\ \ ス\ \ },s=\boxed{\ \ セ\ \ },t=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
したがって、$n \geqq 4$に対して
$a_n=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }a_4}{(n-r)(n-s)(n-t)}$
となる。この式は$n=3$の時も成立する。

(3)$n \geqq 2$に対して
$S_n=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }(n+\boxed{\ \ テ\ \ })(n-\boxed{\ \ ト\ \ })}{n(n-\boxed{\ \ ナ\ \ })}$
であるから、$S_n \geqq 59$となる最小の$n$は$n=\boxed{\ \ ニヌ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問