問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
投稿日：2025.05.11
