問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]$c$を正の整数とする。$x$の2次方程式
$2x^2+(4c-3)x+2c^2$$-c-11=0$　$\cdots$①
について考える。

(1)$c=1$のとき、①のっ左辺を因数分解すると

$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}})(x-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}})$
であるから、①の解は

$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}$

である。

(2)$c=2$のとき、①の解は

$x={\displaystyle \frac{-\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}\pm \sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}$

であり、大きい方の解を$\alpha$とすると

${\displaystyle \frac{5}{\alpha }={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\pm \sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}}$

である。また、$m<{\displaystyle \frac{5}{\alpha }<m+1}$を満たす整数$m$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。

(3)太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。

太郎:①の解は$c$の値によって、ともに有理数である場合も
あれば、ともに無理数である場合もあるね。$c$がどの
ような値のときに、解は有理数になるのかな。
花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すれば
いいんじゃないかな。

①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数$c$の個数は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個である。

[2]右の図のように(※動画参照)、$\mathrm{△}ABC$の外側に辺$AB,BC,CA$
をそれぞれ1辺とする正方形$ADEB,BFGC,CHIA$をかき、
2点$E$と$F,G$と$H,I$と$D$をそれぞれ線分で結んだ図形を考える。
以下において
$BC=a, CA=b, AB=c$
$\mathrm{\angle }CAB=A, \mathrm{\angle }ABC=B,$$\mathrm{\angle }BCA=C$
とする。

(1)$b=6,c=5,\cos A={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき、$\sin A={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$であり、
$\mathrm{△}ABC$の面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}、\mathrm{△}AID$の面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}$である。


(2)正方形$BFGC, CHIA, ADEB$の面積をそれぞれ$S_1,S_2,S_3$とする。
このとき、$S_1-S_2-S_3$は
・$0°<A<90°$のとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$。
・$A=90°$のとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$。
・$90°<A<180°$のとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$。


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$である
①正の値である
②負の値である
③正の値も負の値もとる

(3)$\mathrm{△}AID,\mathrm{△}BEF,\mathrm{△}CGH$の面積をそれぞれ$T_1,T_2,T_3$とする。
このとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$の解答群
⓪$a<b<c$ならば、$T_1>T_2>T_3$
①$a<b<c$ならば、$T_1<T_2<T_3$
②$A$が鈍角ならば、$T_1<T_2\mathrm{か}\mathrm{つ}{T}_2<T_3$
③$a,b,c$の値に関係なく、$T_1=T_2=T_3$

(4)$\mathrm{△}ABC,\mathrm{△}AID,\mathrm{△}BEF,\mathrm{△}CGH$のうち、外接円の半径が最も小さい
ものを求める。
$0°<A<90°$のとき、$ID\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}BC$であり
($\mathrm{△}AID$の外接円の半径)$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$($\mathrm{△}ABC$の外接円の半径)

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は
・$0°<A<B<C<90°$のとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}}}$である。
・$0°<A<B<90°<$Cのとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$<$　①$=$　②$>$

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\mathrm{△}ABC$　①$\mathrm{△}AID$　②$\mathrm{△}BEF$　③$\mathrm{△}CGH$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
xについての2次方程式
$x^2-(4t-1)x+4t^2-2t=0$の2つの解をα、βとする
5,α,βを辺にもつ三角形が直角三角形のとき
tの値は？

2022慶應義塾志木高等学校

問題文全文(内容文)：
$\frac{{1010}^2+{990}^2}{{111}^2-{89}^2}$

四天王寺高等学校

問題文全文(内容文)：
(1)${45}^2=?$
(2)2024を素因数分解せよ