整数問題

問題文全文(内容文)：

n^{3} + n^{2} + n + 1

が

60

の倍数となる最小の自然数

n

を求めよ.

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n^{3} + n^{2} + n + 1

が

60

の倍数となる最小の自然数

n

を求めよ.

投稿日：2020.06.24

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

自然数1, 2, 3, ...,

n

のうち、

n

と互いに素であるものの個数を

f (n)

とする。
(1)自然数

a

b

c

及び相異なる素数

p

q

r

に対して、等式

f (p^{a} p^{b} p^{c})

p^{a - 1} p^{b - 1} p^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)

が成り立つことを示せ。
(2)

f (n)

が

n

の約数となる5以上100以下の自然数

n

をすべて求めよ。

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問題文全文(内容文)：
九九の表の81個の数の積を素因数分解せよ.

早稲田高等学院過去問

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単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)#三重大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
三重大学
a,b,c,d素数

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

f(-1),f(0),f(1)はいずれも3で割り切れないとき、f(x)=0は整数の解をもたないことを示せ。

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単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n! + 8 = 2^{k}

自然数

(n, k)

をすべて求めよ.

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福田の数学〜神戸大学2022年理系第５問〜指数方程式と整数解

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a,bを実数、

p

を素数とし、

1 < a < b

とする。以下の問いに答えよ。

(1)x,y,zを0でない実数とする。

a^{x} = b^{y} = (a b)^{z}

ならば

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}

であることを示せ。
(2)m,nを

m > n

を満たす自然数とし、

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{p}

とする。m,nの値をpを用いて表せ。
(3)m,nを自然数とし、

a^{m} = b^{n} = (a b)^{p}

とする。bの値をa,pを用いて表せ。

2022神戸大学理系過去問

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