福田の入試問題解説〜東京大学2022年理系第２問〜約数と倍数と最大公約数

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 1 (n = 1, 2, 3, \dots)

(1)正の整数nが3の倍数のとき、

a_{n}

は5の倍数となることを示せ。
(2)k,nを正の整数とする。

a_{n}

が

a_{k}

の倍数となるための必要十分条件をk,nを
用いて表せ。
(3)

a_{2022}

と

(a_{8091})^{2}

の最大公約数を求めよ。

2022東京大学理系過去問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 1 (n = 1, 2, 3, \dots)

(1)正の整数nが3の倍数のとき、

a_{n}

は5の倍数となることを示せ。
(2)k,nを正の整数とする。

a_{n}

が

a_{k}

の倍数となるための必要十分条件をk,nを
用いて表せ。
(3)

a_{2022}

と

(a_{8091})^{2}

の最大公約数を求めよ。

2022東京大学理系過去問

投稿日：2022.02.26

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単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
1～nまでの自然数でnと互いに素な自然数の個数を求めよ

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愛媛　香川　大分整式の剰余　整数　漸化式　高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#複素数#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大分大学#数学(高校生)#愛媛大学#香川大学#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
愛媛大学過去問題

x^{2009}

を

x^{2} + 1

で割った時の余りを求めよ。

香川大学

6 n^{5} - 15 n^{4} + 10 n^{3} - n

は30の倍数であることを示せ。

大分大学

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n} - s_{n}

のときの一般項を求めよ。

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

である。

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福田の数学〜東北大学2023年理系第４問〜１の５乗根

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数平面#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

実数a=

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

に対して、整式f(x)=

x^{2}

a x

+1を考える。
(1)整式

x^{4}

x^{3}

x^{2}

x

+1　はf(x)で割り切れることを示せ。
(2)方程式f(x)=0の虚数解であって虚部が正のものを

α

とする。

α

を極形式で表せ。ただし、

r^{5}

=1を満たす実数rがr=1のみであることは、認めて使用してよい。
(3)設問(2)の虚数

α

に対して、

α^{2023}

α^{- 2023}

の値を求めよ。

2023東北大学理系過去問

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Math Video: How To Solve Congruent Expressions Most Easily

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学　合同式を英語で解説

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大学入試問題#248　慶應義塾大学(2014)　#方程式

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x, y, z : 0

でない整数

\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x} = \frac{1}{x y + y z + z x}

2^{x + 1} = \frac{5^{2 y}}{10^{z + 1}}

をみたすとき

x, y, z

の値を求めよ。

出典：2014年慶應義塾大学　入試問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の入試問題解説〜東京大学2022年理系第２問〜約数と倍数と最大公約数

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