問題文全文(内容文)：
(1)$n$を自然数とする。
$cos(n+2)\theta +cosn\theta =2cos(n+1)\theta cos\theta$を示せ。

(2)自然数$n$に対し、$cosn\theta =T_n(cos\theta )$を満たす整数係数の$n$次の整式$T_n(x)$が存在することを示せ。

(3)$cos1°$が無理数であることを証明せよ。

数学入試問題過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]　(1)${\log }_{10}10=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また、${\log }_{10}5,{\log }_{10}15$をそれぞれ
${\log }_{10}2\mathrm{と}{\log }_{10}3$を用いて表すと
${\log }_{10}5=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}{\log }_{10}2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
${\log }_{10}15=$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$
(2)太郎さんと花子さんは、${15}^{20}$について話している。
以下では、${\log }_{10}2=0.3010、$${\log }_{10}3=0.4771$とする。

太郎:${15}^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。${\log }_{10}{15}^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

${\log }_{10}{15}^{20}$は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}<{\log }_{10}{15}^{20}$$<\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}+1$
を満たす。よって、${15}^{20}\mathrm{は}\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}$桁の数である。

太郎:${15}^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、${\log }_{10}{15}^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N\mathrm{・}{10}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}<{15}^{20}$$<(N+1)\mathrm{・}{10}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

${\log }_{10}{15}^{20}$の小数部分は${\log }_{10}{15}^{20}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$であり
${\log }_{10}\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}<{\log }_{10}{15}^{20}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$$<{\log }_{10}(\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}+1)$
が成り立つので、${15}^{20}$の最高位の数字は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos \theta ,\sin \theta ),$
$Q(\cos \alpha ,\sin \alpha ),R(\cos \beta ,\sin \beta )$がある。ただし、$0\leqq \theta <\alpha <\beta <2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos \theta +\cos \alpha +\cos \beta ,$$t=\sin \theta +\sin \alpha +\sin \beta$

(1)$\mathrm{△}PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\mathrm{△}PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha ,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha =\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{3}\pi ,}$$\beta =\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{3}\pi }$
であり、加法定理により
$\cos \alpha =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}, \sin \alpha =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$
である。同様に、$\cos \beta$および$\sin \beta$を、$\sin \theta$と$\cos \theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪${\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
①${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
②${\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
③${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
④$-{\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
⑤$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
②$-{\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
③$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$

考察2:$\mathrm{△}PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である。また、$\alpha$は
$\alpha <{\displaystyle \frac{5}{4}\pi , \beta }$は${\displaystyle \frac{5}{4}\pi <\beta }$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin \beta =\cos \alpha , \cos \beta =\sin \alpha$が成り立つ。よって
$s=t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}+\sin \alpha +\cos \alpha }$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin \alpha +\cos \alpha =$$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}})$
である。したがって

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}}{12}\pi , \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}}}}{12}\pi }}$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta ,\alpha ,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$
であるから、$\theta ,\alpha ,\beta$の範囲に注意すると
$\beta -\alpha =\alpha -\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}}\pi }$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}}$であることが分かる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\mathrm{△}PQR$は正三角形である。
①$\mathrm{△}PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\mathrm{△}PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\mathrm{△}PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\mathrm{△}PQR$は正三角形である。
③$\mathrm{△}PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\mathrm{△}PQR$が正三角形でない場合がある。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}A}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\$\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2},}}$　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}})$

と変形できる。よって、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}B}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +p\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$(\text{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$をとる。
$(\text{ii})$　$p>0$のときは、加法定理
$\cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha$$+\sin \theta \sin \alpha$
を用いると
$y=\sin \theta +p\cos \theta$$=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}\cos (\theta -\alpha )$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}}$、$\cos \alpha =\frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}$、$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$で最大値
$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}}$をとる。

$(\text{iii})$　$p<0$のとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$をとる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p{)}^2$
ⓑ$(1+p{)}^2$


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$


[2]二つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}}$、$g(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}、g(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$で最小値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$ をとる。
$g(x)=-2$ となる$x$の値は${\log }_2(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$　$\cdots$②
${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\text{A}$)～($\text{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\text{A}$)～($\text{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{A})$
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{B})$
$g(\alpha -\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{C})$
$g(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )-g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\text{A}$)～($\text{D}$)のうち、
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$の解答群
⓪$(\text{A})$
①$(\text{B})$
②$(\text{C})$
③$(\text{D})$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
円周率$\pi$に関して次の不等式が成立することを証明せよ。
ただし、数値$\pi =3.141592\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}$を使用して直接比較する解答は0点とする。

$3\sqrt{6}-3\sqrt{2}<\pi <24-12\sqrt{3}$

2010大分大過去問

問題文全文(内容文)：
座標平面上で、$x$座標,$y$座標が共に整数である点を格子点という。
原点を通る2直線$l,m$がそれぞれ原点以外にも格子点を通るとき、
$l,m$のなす角は、$60°$にならないことを証明せよ。
ただし、$\sqrt{3}$が無理数であることを証明なしに用いても良い。

山口大過去問