問題文全文(内容文)：
$(x^{2020}+1)^{2020}+(x^2+1)^{2020}+1$を$x^2+x+1$で割った余りを求めよ

出典：京都大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\frac{2022}{2n+1}$が素数になる自然数nのうち最大のものを求めよ。

2022愛知工業大学名電高等学校

問題文全文(内容文)：
第4問　
(1)$5^4=625$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

$5^4x-2^4y=1　\ldots①$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは$x=\boxed{\ \ ア\ \ },y=\boxed{\ \ イウ\ \ }$であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ エオ\ \ },　y=\boxed{\ \ カキク\ \ }$である。

(2)次に、$625^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りについて考えてみよう。
まず、
$625^2=5^{\boxed{ケ}}$
であり、また$m=\boxed{\ \ イウ\ \ }$とすると、$625^2=2^{\boxed{ケ}}\ m^2+2^{\boxed{コ}}\ m+1$である。
これらにより、$625^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
$5^5x-2^5y=1　\ldots②$
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。
$5^5x$は$5^5$の倍数であり、$2^5$で割った時の余りは1となる。よって(2)により、
$5^5x-625^2$は$5^5$でも$2^5$でも割り切れる。$5^5$と$2^5$は互いに素なので
$5^5x-625^2$は$5^5・2^5$の倍数である。このことから、②の整数解のうち、
xが3桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ サシス\ \ },　y=\boxed{\ \ セソタチツ\ \ }$
であることが分かる。

(4)$11^4$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
$11^5x-2^5y=1$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ テト\ \ },　y=\boxed{\ \ ナニヌネノ\ \ }$　である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$ab+cd$が$a-c$の倍数ならば,
$ad+bc$も$a-c$の倍数であることを示せ.
$a,b,c,d$は自然数である.

問題文全文(内容文)：
$m^2=2^n+1$を満たす自然数$(m,n)$をすべて求めよ

出典：学習院大学　過去問