問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}5\mathrm{問}$
$O$を原点とする座標空間に2点$A(-1,2,0), B(2,p,q)$がある。ただし、$q>0$とする。
線分$AB$の中点$C$から直線$OA$に引いた垂線と直線$OA$の交点$D$は、線分$OA$を9:1に内分
するものとする。また、点$C$から直線$OB$に引いた垂線と直線$OB$の交点Eは、線分$OB$を$3:2$
に内分するものとする。

(1)点Bの座標を求めよう。
$|\overrightarrow{OA}{|}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また、$\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}\overrightarrow{OA}}$であることにより、
$\overrightarrow{CD}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}\overrightarrow{OA}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\overrightarrow{OB}}}$と表される。$\overrightarrow{OA}\mathrm{\perp }\overrightarrow{CD}$から
$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$　$\dots$①
である。同様に、$\overrightarrow{CE}$を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$を用いて表すと、$\overrightarrow{OB}\mathrm{\perp }\overrightarrow{CE}$から
$|\overrightarrow{OB}{|}^2=20$　$\dots$②
を得る。

①と②、および$q>0$から、$B$の座標は$(2, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}, \sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})$である。


(2)3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とし、点$(4, 4, -\sqrt{7})$を$G$とする。
また、$\alpha$上に点$H$を$\overrightarrow{GH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{GH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OB}$が成り立つようにとる。$\overrightarrow{OH}$を
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$を用いて表そう。
$H$が$\alpha$上にあることから、実数$s,t$を用いて
$\overrightarrow{OH}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$
と表される。よって
$\overrightarrow{GH}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}\overrightarrow{OG}+s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$
である。これと、$\overrightarrow{GH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OA}$および$\overrightarrow{GH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OB}$が成り立つことから、
$s={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}, t={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}}}}$が得られる。ゆえに
$\overrightarrow{OH}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}}\overrightarrow{OB}}}$
となる。また、このことから、$H$は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$であることがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$の解答群
⓪三角形$OAC$の内部の点
①三角形$OBC$の内部の点
②点$O,C$と異なる、線分$OC$上の点
③三角形$OAB$の周上の点
④三角形$OAB$の内部にも周上にもない点

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題616
$\overrightarrow{a}=(-3,4)$と同じ向きの単位ベクトル$\overrightarrow{e}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2x+y-6=0
2x-y+2=0
2x-7y-22=0
によって作られる三角形の面積は？

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{△}ABC$の外接円の中心を$O$とし、半径を1とする。
$13\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$であるとき、次の問いに答えよ。
（1）内積$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}$を求めよ。
（2）$\mathrm{△}OAB,\mathrm{△}OBC,\mathrm{△}OCA$の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{△}ABC$において、ベクトルの内積が
$\overrightarrow{CA}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}=-2,\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{BC}=-4,\overrightarrow{BC}\mathrm{・}\overrightarrow{CA}=-5$
であるとき、以下の設問に答えよ。
(1)3辺AB,BC,CAの長さを求めよ。
(2)\triangle ABCの面積を求めよ。

2022中央大学経済学部過去問