数学「大学入試良問集」【14−3 垂直と平面ベクトルと正射影】を宇宙一わかりやすく - 質問解決D.B.(データベース)

数学「大学入試良問集」【14−3 垂直と平面ベクトルと正射影】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文):
$\triangle OAB$において、辺$OA,$辺$OB$の長さをそれぞれ$a,b$とする。
また、$\angle AOB$は直角ではないとする。
2つのベクトル$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$の内積$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }$を$k$とおく。
次の問いに答えよ。

(1)
直線$OA$上に点$C$を、$\overrightarrow{ BC }$が$\overrightarrow{ OA }$と垂直になるようにとる。
$\overrightarrow{ OC }$を$a,k,\overrightarrow{ OA }$を用いて表せ。

(2)
$a=\sqrt{ 2 },b=1$とする。
直線$BC$上に点$H$を、$\overrightarrow{ AH }$が$\overrightarrow{ OB }$と垂直になるようにとる。
$\overrightarrow{ OH }=u\overrightarrow{ OA }+v\overrightarrow{ OB }$とおくとき、$u$と$v$をそれぞれ$k$で表せ。
単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師: ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文):
$\triangle OAB$において、辺$OA,$辺$OB$の長さをそれぞれ$a,b$とする。
また、$\angle AOB$は直角ではないとする。
2つのベクトル$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$の内積$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }$を$k$とおく。
次の問いに答えよ。

(1)
直線$OA$上に点$C$を、$\overrightarrow{ BC }$が$\overrightarrow{ OA }$と垂直になるようにとる。
$\overrightarrow{ OC }$を$a,k,\overrightarrow{ OA }$を用いて表せ。

(2)
$a=\sqrt{ 2 },b=1$とする。
直線$BC$上に点$H$を、$\overrightarrow{ AH }$が$\overrightarrow{ OB }$と垂直になるようにとる。
$\overrightarrow{ OH }=u\overrightarrow{ OA }+v\overrightarrow{ OB }$とおくとき、$u$と$v$をそれぞれ$k$で表せ。
投稿日:2021.10.05

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問題文全文(内容文):
◎右の正六角形ABCDEFにおいて、AB=2とする。
次の内積を求めよう。

①$\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AF }$

②$\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ BC }$

③$\overrightarrow{ AD }・\overrightarrow{ BF }$

④$\overrightarrow{ AC }・\overrightarrow{ AE }$

⑤$\overrightarrow{ CE }・\overrightarrow{ BE }$

※図は動画内参照
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$a,b$の値を定めよう.

②4点$A(5,2,5),B(3,1,2),C(-2,-1,-6),D(a,2,3)$が同じ平面上にあるように
定数$a$の値を定めよう.
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問題文全文(内容文):
aは$a\neq 1$を満たす正の実数とする。xy平面上の点$P_1,P_2,\ldots\ldots,P_n,\ldots\ldots$および
$Q_1,Q_2,\ldots\ldots,Q_n,\ldots\ldots$が、すべての自然数nについて
$\overrightarrow{ P_nP_{n+1} }=(1-a)\overrightarrow{ P_nQ_n },  \overrightarrow{ Q_nQ_{n+1} }=(0, \frac{a^{-n}}{1-a})$
を満たしているとする。また$P_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする。
(1)$x_{n+2}$を$a, x_n, x_{n+1}$で表せ。
(2)$x_1=0, x_2=1$のとき、数列$\left\{x_n\right\}$の一般項を求めよ。
(3)$y_1=\frac{a}{(1-a)^2}, y_2-y_1=1$のとき数列$\left\{y_n\right\}$の一般項を求めよ。

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