数学「大学入試良問集」【14−3 垂直と平面ベクトルと正射影】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：

△ O A B

において、辺

O A,

辺

O B

の長さをそれぞれ

a, b

とする。
また、

∠ A O B

は直角ではないとする。
2つのベクトル

\vec{O A}

と

\vec{O B}

の内積

\vec{O A} ・ \vec{O B}

を

k

とおく。
次の問いに答えよ。

（1）
直線

O A

上に点

C

を、

\vec{B C}

が

\vec{O A}

と垂直になるようにとる。

\vec{O C}

を

a, k, \vec{O A}

を用いて表せ。

（2）

a = \sqrt{2}, b = 1

とする。
直線

B C

上に点

H

を、

\vec{A H}

が

\vec{O B}

と垂直になるようにとる。

\vec{O H} = u \vec{O A} + v \vec{O B}

とおくとき、

u

と

v

をそれぞれ

k

で表せ。

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ O A B

において、辺

O A,

辺

O B

の長さをそれぞれ

a, b

とする。
また、

∠ A O B

は直角ではないとする。
2つのベクトル

\vec{O A}

と

\vec{O B}

の内積

\vec{O A} ・ \vec{O B}

を

k

とおく。
次の問いに答えよ。

（1）
直線

O A

上に点

C

を、

\vec{B C}

が

\vec{O A}

と垂直になるようにとる。

\vec{O C}

を

a, k, \vec{O A}

を用いて表せ。

（2）

a = \sqrt{2}, b = 1

とする。
直線

B C

上に点

H

を、

\vec{A H}

が

\vec{O B}

と垂直になるようにとる。

\vec{O H} = u \vec{O A} + v \vec{O B}

とおくとき、

u

と

v

をそれぞれ

k

で表せ。

投稿日：2021.10.05

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、

O A = 1 、 O B = 2 、 ∠ A O B = θ (0 < θ < π)

であるとする。

∠ A O B

の二等分線と辺ABの交点をCとするとき、直線OC上の点Pは

(a ・ p)^{2} - 2 (b ・ p) + 4 = 0

を満たすとする。
ただし、

a = O A 、 b = O B 、 p = O P

とする。次の問に答えよ。

(1)OCをa,bで表せ。
(2)pをa,b,

θ

で表せ。
(3)b・pの値を求めよ。
(4)Pから直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をHとするとき、

O H ・ p = b ・ p

であることを示せ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)正四面体OABCの辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBを3:2に内分する
点をQとする。三角形ABCの重心をGとする。3点P,Q,Gを含む平面が辺AC
と交わる点をRとする。このとき

\vec{O R} = \frac{カ}{キ} \vec{O A} + \frac{ク}{ケ} \vec{O C}

である。

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問題文全文(内容文)：

1

(2)三角形ABC内に点Pがあり、

3 \vec{P A} + 5 \vec{P B} + 7 \vec{P C} = \vec{0}

のとき、

\vec{A P} = \frac{カ}{キ} \vec{A B} + \frac{ク}{ケ コ} \vec{A C}

となるので、

△ P A B : △ P B C : △ P C A = サ

である。

サ

の解答群

⓪ 1 : 1 : 1 ① 3 : 5 : 7 ② 5 : 7 : 3 ③ 7 : 3 : 5 ④ 9 : 25 : 49

⑤ 25 : 49 : 9 ⑥ 49 : 9 : 25 ⑦ \frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{7} ⑧ \frac{1}{5} : \frac{1}{7} : \frac{1}{3} ⑨ \frac{1}{7} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}

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問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：

5

xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。

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