問題文全文(内容文)：
四面体$OABC$と点$P$について,
$7\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+5\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{O}$が成り立つ.

①点$P$はどのような位置にあるか答えよう.

②四面体$OABC,PABC$の体積をそれぞれ$V_1,V_2$とするとき,
$V_1:V_2$を求めよう.

問題文全文(内容文)：
問題1
$△ABC$の辺$AB$，$BC$，$CA$を2:1に内分する点を、それぞれ$A_1$，$B1_1$，$C_1$とする。更に、$△A_1B_1C_1$の辺$A_1B_1$，$B_1C_1$を2:1に内分する点を、それぞれ$A_2$，$B_2$とする。このとき、$A_2B_2//AB$であることを示せ。

問題2
△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP，辺ABを1:2に内分する点をQ、辺CAの中点をRとする。
(1)3点P，Q，Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)QR:QPを求めよ。

問題3
平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。
(1)3点P，Q，Cは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QCを求めよ。

問題4
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD、BEの交点をPとする。$\overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ b }$，$\overrightarrow{ AC }=\overrightarrow{ c }$とするとき、$\overrightarrow{ AP }$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
問題1
点$A(5,-4,7)$を通る,次のような平面の方程式を求めよう.

①$x$軸に垂直

②$z$軸に垂直

③$xy$平面に平行

問題2
次の球面の方程式を求めよう.

④中心が$(3,-1,2)$,半径が5の球面

⑤中心が$(1,3,-1)$で,点$(5,-1,1)$を通る球面

問題文全文(内容文)：
右の図(※動画参照)のような平行六面体OABC-DEFGにおいて、
すべての辺の長さは1であり、$\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ OC },\ \overrightarrow{ OD }$のどの
2つのなす角も$\frac{\pi}{3}$であるとする。
(1)$\overrightarrow{ OF }$を$\overrightarrow{ OA },\ \overrightarrow{ OC },\ \overrightarrow{ OD }$を用いて表すと、
$\overrightarrow{ OF }= \boxed{き}$である。
(2)$|\overrightarrow{ OF }|,\ \cos \angle AOF$を求めると$|\overrightarrow{ OF }|= \boxed{く},$
$\ \cos \angle AOF=\boxed{け}$である。
(3)三角形ACDを底面とする三角錐OACDを、直線OFの周りに1回転して
できる円錐の体積は$\boxed{こ}$である。
(4)対角線OF上に点Pをとり、$|\overrightarrow{ OP }|=t$とおく。点Pを通り、$\overrightarrow{ OF }$に垂直な平面
をHとする。平行六面体$OABC-DEFG$を平面Hで切った時の断面が六角形
となるようなtの範囲は$\boxed{さ}$である。このとき、平面Hと辺AEの交点をQ
として、$|\overrightarrow{ AQ }|$をtの式で表すと$|\overrightarrow{ AQ }|=\boxed{し}$である。
また、$|\overrightarrow{ PQ }|^2$を$t$の式で表すと
$|\overrightarrow{ PQ }|^2=|\overrightarrow{ OQ }|^2-|\overrightarrow{ OP }|^2=\boxed{す}$
である。
(5)平行六面体$OABC-DEFG$を、直線OFの周りに1回転してできる回転体
の体積は$\boxed{こ}$である。

2022明治大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
三角形$\mathrm{OAB}$において、$\mathrm{OA}=5,\mathrm{OB}=7,\mathrm{AB}=8$とする。また、$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円$C$が直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$で接している。さらに、$\mathrm{A}$から$C$へ引いた接線と$C$との接点を$\mathrm{E}$とする。ただし、$\mathrm{E}$は$\mathrm{D}$と異なる点とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 内積$\vec{a}\cdot \vec{b}$を求めよ。
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$と表すとき、定数$t$の値を求めよ。
(3)$r$の値を求めよ。
(4) $\mathrm{D}$から$\mathrm{OA}$へ下した垂線を$\mathrm{DH}$とする。$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\vec{a}$を用いて表せ。
(5) $\mathrm{OE}$を$\mathrm{OE}=p\vec{a}+q\vec{b}$と表すとき、定数$p,q$の値を求めよ。