福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題080〜京都大学2018年度理系第５問〜曲線の長さと極限

問題文全文(内容文)：

5

　曲線y=

\log x

上の点A(t,

\log t

)における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBのx座標はtより大きい。
(1)点Bの座標(u(t), v(t))を求めよ。また

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。
(2)実数rは0＜r＜1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ

L_{1} (r)

L_{2} (r)

とする。このとき、極限

lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

2018京都大学理系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　曲線y=

\log x

上の点A(t,

\log t

)における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBのx座標はtより大きい。
(1)点Bの座標(u(t), v(t))を求めよ。また

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。
(2)実数rは0＜r＜1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ

L_{1} (r)

L_{2} (r)

とする。このとき、極限

lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

2018京都大学理系過去問

投稿日：2023.02.14

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問題文全文(内容文)：

x > 0, e a ≒ 2.71 ･ ･ ･

(1)

\sqrt{x} \log_{x} > - 1

を示せ.
(2)(1)を利用して

lim_{x \to + 0} x \log x = 0

を示せ.

2019慶應(理)過去問

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1, a_{2} = 2

a_{n + 2} = \sqrt{a_{n} a_{n + 1}}

のとき

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

出典：1991年神戸大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：
無限級数の基礎と求め方を解説します。

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問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 数 学 III 色 々 な 極 限 (4) \\ lim_{x \to 1} \frac{\sin π x}{x - 1} \\ を 2 通 り の 方 法 で 求 め よ 。 \end{array}

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

x y

平面上に、点A(

a

,0), B(0,

b

), C(

- a

,0)(ただし0＜

a

＜

b

)をとる。点A,Bを通る直線を

l

とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を

k

とする。さらに、点Aを通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{1}

とし、点

C_{1}

を通り、

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{1}

とする。以下、

n

=1,2,3,...に対して、点

A_{n}

を通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{n + 1}

、点

C_{n + 1}

を通り

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{n + 1}

とする。
(1)点

A_{n}

C_{n}

の座標を求めよ。
(2)△

C B A_{n}

の面積

S_{n}

を求めよ。
(3)

lim_{n \to \infty} \frac{B A_{n}}{B C}

を求めよ。

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