福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第４問〜対数不等式と数列

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問題文全文(内容文)：

4

k

を実数の定数とする。実数

x

は不等式
(*)

2 \log_{5} x - \log_{5} (6 x - 5^{k}) < k - 1

を満たすとする。

(1)不等式(*)を満たすxの値の範囲を、

k

を用いて表せ。

(2)

k

を自然数とする。(*)を満たす

x

のうち奇数の個数を

a_{k}

とし

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。

a_{k}

を

k

の式で表し、さらに

S_{n}

を

n

の式で表せ。

(3)(2)の

S_{n}

に対して、

S_{n} + n

が10桁の整数となるような自然数

n

の値を求めよ。なお、必要があれば

0.30 < \log_{10} 2 < 0.31

を用いよ。

2021慶應義塾大学経済学過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

k

を実数の定数とする。実数

x

は不等式
(*)

2 \log_{5} x - \log_{5} (6 x - 5^{k}) < k - 1

を満たすとする。

(1)不等式(*)を満たすxの値の範囲を、

k

を用いて表せ。

(2)

k

を自然数とする。(*)を満たす

x

のうち奇数の個数を

a_{k}

とし

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。

a_{k}

を

k

の式で表し、さらに

S_{n}

を

n

の式で表せ。

(3)(2)の

S_{n}

に対して、

S_{n} + n

が10桁の整数となるような自然数

n

の値を求めよ。なお、必要があれば

0.30 < \log_{10} 2 < 0.31

を用いよ。

2021慶應義塾大学経済学過去問

投稿日：2021.07.08

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問題文全文(内容文)：

1

各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

\frac{1}{3} x^{3}

－10

x

　(

x

≧0)
が最小値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

\frac{1}{3} x^{3}

－100

a_{n} x

　(

x

≧0)
が最小値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

\log_{10} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

と

b_{1}

を求めよ。　(2)

a_{n + 1}

を

a_{n}

を用いて表せ。
(3)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(4)数列

{b_{n}}

の一般項を求めよ。
(5)

\frac{a_{1} a_{2} a_{3}}{100}

　の値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

1

(5)整式P(x)を
P(x)=

\sum_{n = 1}^{20} n x^{n}

=20

x^{20}

+19

x^{19}

+18

x^{18}

+...+2

x^{2}

x

と定める。このとき、P(x)をx-1で割った時の余りは

ク

である。
また、P(x)を

x^{2}

-1で割った時の余りは

ケ

である。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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熊本大（理）漸化式

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
一般項を求めよ

a_{1} = \frac{1}{8}

(4 n^{2} - 1) (a_{n} - a_{n + 1}) ＝ 8 (n^{2} - 1) a_{n} a_{n + 1}

熊本大学理学部過去問

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【数学B/数列】数列の和Snから一般項anを求める

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：
初項から第

n

項までの和

S_{n}

が次の式で表される数列{

a_{n}

}の一般項を求めよ。
（1）

S_{n} = n^{2} + 4 n

（2）

S_{n} = 2^{n + 1} - 4 n + 1

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

nを自然数として、整式

(3 x + 2)^{n}

を

x^{2}

x

+1で割った余りを

a_{n} x

b_{n}

とおく。
(1)

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

を、それぞれ

a_{n}

と

b_{n}

を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、

a_{n}

と

b_{n}

は7で割り切れないことを示せ。
(3)

a_{n}

と

b_{n}

を

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

で表し、全てのnに対して、2つの整数

a_{n}

と

b_{n}

は互いに素であることを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

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