問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 関数$f(x)$=$\sin x$　$\left(0≦x≦\frac{\pi}{2}\right)$の逆関数を$g(x)$とする。
(1)関数$g(x)$の定義域は$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(2)$y$=$g(x)$の$x$=$\frac{4}{5}$における接線の傾きは$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(3)$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}g(x)dx$=$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ク\ \ }$+$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(4)$y$=$g(x)$のグラフと$x$=1および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は$\displaystyle\frac{\pi^a}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ス\ \ }\pi$　ただし$a$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は区間$x \geqq 0$において連続な増加関数で$f(0)=1$を満たすとする。
ただしf(x)が区間$x \geqq 0$における増加関数であるとは、区間内の任意の実数$x_1,x_2$に対し
$x_1 \lt x_2$ならば$f(x_1) \lt f(x_2)$が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。
(1)$\lim_{n \to \infty}\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx=\infty$　を示せ。
(2)区間$y \gt 2$ において関数$F_n(y)$を$F_n(y)=\int_{2+\frac{1}{n}}^y\frac{f(x)}{2-x}dx$と定めるとき、

$\lim_{y \to \infty}F_n(y)=\infty$を示せ。また$2+\frac{1}{n}$より大きい実数$a_n$で

$\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx+\int_{{2+\frac{1}{n}}}^{a_n}\frac{f(x)}{2-x}dx=0$

を満たすものがただ1つ存在することを示せ。
(3)(2)の$a_n$について、不等式$a_n \lt 4$がすべてのnに対して成り立つことを示せ。

2022名古屋大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
2つの関数
$y=\sqrt{x+1}$
$y=x+k$
のグラフの共有点の個数を調べよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$　正の数列$x_1$,$x_2$,$x_3$,...,$x_n$,... は以下を満たすとする。
$x_1$=8,　$x_{n+1}$=$\sqrt{1+x_n}$　($n$=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$x_2$,$x_3$,$x_4$をそれぞれ求めよ。
(2)すべての$n$≧1について($x_{n+1}$-$\alpha$)($x_{n+1}$+$\alpha$)=$x_n$-$\alpha$　となる定数$\alpha$で、
正であるものを求めよ。
(3)$\alpha$を(2)で求めたものとする。すべての$n$≧1について$x_n$＞$\alpha$であることを$n$に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0　が成り立つことを示せ。