問題文全文(内容文)：
$P>3$,$P$と$P+4$は素数である.
(1)$P$を6で割った余りを示せ.
(2)$P+2$は3の倍数であることを示せ.
(3)$(P+1)(P+2)(P+3)$は$120$の倍数であることを示せ.

2021富山大過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,$$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}})$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数

（1）
$n^2$と$2n+1$は互いに素、示せ

（2）
$n^2+2$が$2n+1$の倍数となる$n$を求めよ

出典：1992年一橋大学　過去問

問題文全文(内容文)：
a,bは正の整数である.
${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{3}{2018}}$を満たす(a,b)を全て求めよ.ただし1009は素数とする.

問題文全文(内容文)：
$n^3+n+5$
$n^3-n+5$
が共に素数となるような整数$n$を求めよ