問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$　平面上に3点O,A,Bがあり、
$|\overrightarrow{OA}|=|\sqrt{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|2\sqrt{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=1$
を満たしている。

(1)$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}$

(2)$\cos \mathrm{\angle }AOB=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}$

(3)実数s,tが
$s\geqq 0,t\geqq 0,s+2t\leqq 1$
を満たしながら変化するとき、
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$
で定まる点Pの存在する範囲の面積は$\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$
である。

2021青山学院大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
放物線$y=x^2$のうち$-1\leqq x\leqq 1$を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{1}{k}\overrightarrow{OP}+k\overrightarrow{OQ}}$を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および${\displaystyle \underset{k\to +0}{lim}S(k),{\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}S(k)}}$を求めよ。

2018東京大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}=-\frac{2}{3}\mathrm{お}\mathrm{よ}\mathrm{び}\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$を満たすとする。tを$0<t<1$を満たす
実数とし、線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。

(1)$\cos \mathrm{\angle }AOB=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}$　である。
また、実数$k$を用いて、$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}$と表せる。したがって
$\overrightarrow{OQ}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}\overrightarrow{OA}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}\overrightarrow{OB} \dots \dots \dots \dots \mathrm{①}$
$\overrightarrow{CQ}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\overrightarrow{OA}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{OB}$
となる。
$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OP}$が垂直となるのは、$t=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$　のときである。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}} ～ \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$kt$　　①$(k-kt)$　　②$(kt+1)$
③$(kt-1)$　④$(k-kt+1)$　　⑤$(k-kt-1)$

以下、$t\ne \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$とし、$\mathrm{\angle }OCQ$が直角であるとする。

(2)$\mathrm{\angle }OCQ$が直角であることにより、(1)のkは
$k=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}t-\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}} \dots \mathrm{②}$
となることがわかる。

平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分を$D_1$、含まない部分を$D_2$とする。また、平面
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Aを含む部分を$E_1$、含まない部分を$E_2$とする。
・$0<t<\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$ならば、点Qは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$。
・$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}<t<1$ならば、点Qは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
①$D_1$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる
②$D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる
③$D_2$に含まれ、かつ$E_2$に含まれる

(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と$|\overrightarrow{OQ}|$の関係について考えている。
$t=\frac{1}{2}$のとき、①と②により、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$とわかる。

太郎:$t\ne \frac{1}{2}$のときにも、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$となる場合があるかな。
花子:$|\overrightarrow{OQ}|$を$t$を用いて表して、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとしたら
$|\overrightarrow{OR}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$となるよ。
太郎:$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表すことができれば、
tの値が求められそうだね。

直線OAに関して、$t=\frac{1}{2}$のときの点Qと対称な点をRとすると
$\overrightarrow{CR}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}\overrightarrow{CQ}$
$=\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}\overrightarrow{OA}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}\overrightarrow{OB}$
となる。
$t\ne \frac{1}{2}$のとき、$|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$となるtの値は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}$である。

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$xy$平面において、原点$O$を通る半径$r(r>0)$の円を$C$とし、その中心を$A$とする。
$O$を除く$C$上の点$P$に対し、次の２つの条件$(a),(b)$で定まる点$Q$を考える。
（a）$\overrightarrow{OP}$と$\overrightarrow{OQ}$の向きが同じ。
（b）$|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|=1$

以下の問いに答えよ。
（1）
点$P$が$O$を除く$C$上を動くとき、点$Q$は$\overrightarrow{OA}$に直交する直線状を動くことを示せ。

（2）
（1）の直線を$l$とする。
$l$が$C$と2点で交わるとき、$r$のとり得る値の範囲を求めよ。