問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$

$a$を正の実数とする。

(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式

$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$

を考える。

この方程式を満たす$z$全体の集合を

複素数平面上に図示せよ。

$2025$年北海道大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$i$ を虚数単位とし、複素数 $z = \cos\dfrac{2\pi}{5} + i\sin\dfrac{2\pi}{5}$ を考える。

$w = z + z^3$ とし、$w$ と共役な複素数を $\bar{w}$ で表す。

(1) $w + \bar{w} = \fbox{ア}$ である。

(2)(3) $w\bar{w}$ の実部は $\fbox{イ}$ であり、虚部は $\fbox{ウ}$ である。

(4) $z^2$ と $z^3$ を焦点とし、焦点からの距離の差の大きさが $z^2$ の虚部で定まる双曲線を考える。この双曲線の漸近線の傾きの絶対値は $\fbox{エ}$ である。

問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ 1+\sqrt{ 3 }i }+\sqrt{ 1-\sqrt{ 3 }i }$を簡単にせよ
ただし、外側の平方根の実数部の値は正とする。

問題文全文(内容文)：
$z=2-i$のとき、$|z+\displaystyle \frac{1}{z}|^2$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$t$を実数とし、xの3次式f(x) を
$f(x) = x^3 + (1-2t)x^2+(4-2t)x+4$
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) 3次式f(x) を実数係数の2次式と1次式の積に因数分解し、$f(x) = 0$ が虚数の
解をもつようなtの範囲を求めよ。

実数tが (1) で求めた範囲にあるとき、方程式 $f(x) = 0$ の異なる2つの虚数解を
α, βとし、実数解をγとする。ただし、$α$の虚部は正、$β$の虚部は負とする。
以下、$α, β, γ$を複素数平面上の点とみなす。
(2) $α, β, γ$をtを用いて表せ。また、実数tが (1) で求めた範囲を動くとき、点$α$
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(3) 3点$α, β, γ$が一直線上にあるようなtの値を求めよ。

(4)3点$α, β, γ$が正三角形の頂点となるようなtの値を求めよ。

2022中央大学理工学部過去問