問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{2} (\displaystyle \frac{x^2}{2}+3x)e^{\frac{x}{2}}dx$

出典：

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}xe^x\sin\ x\ dx$を計算せよ。

出典：1966年東京工業大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{ 3 }}{2}}(x+4x^3)\sqrt{ 1+4x^2 }\ dx$

出典：東京都市大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
【東北大学 2024】
$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C:x^2+y^2=1$および円板$D:x²+y²≦1$を考える。$D$を底面とし点$P(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする。$A(0,-1,0),B(0,1,0)$とする。$xyz$空間内の平面$H:z=x$を考える。すなわち、$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$AB$をともに含む平面である。$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする。$\displaystyle -\frac{π}{2}≦θ≦\frac{π}{2}$を満たす実数$θ$に対し、円$C$上の点$Q(cosθ,sinθ,0)$をとり、線分$PQ$と$E$の共有点を$R$とする。
(1) 線分$PR$の長さを$r(θ)$とおく。$r(θ)$を$θ$を用いて表せ。
(2)円錐$K$の側面のうち、曲線$E$の点$A$から点$R$までを結ぶ部分、線分$PA$,および線分$PR$により囲まれた部分の面積を$S(θ)$とおく。$θ$と実数$h$が条件$\displaystyle 0≦θ＜θ+h≦\frac{π}{2}$を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle \frac{h\{{r(θ)}\}^2}{2\sqrt{2}}≦S(θ+h)-S(θ)≦\frac{h\{{r(θ+h)\}}^2}{2\sqrt{2}}$
(3) 円錐$K$の側面のうち、円$C$の$x≧0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく。$T$を求めよ。必要であれば$\displaystyle tan\frac{θ}{2}=u$とおく置換積分を用いてもよい。

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分③・レベルアップ編)

Q.次の定積分を求めよ。

①$\int_{\frac{\pi}{6}}^\frac{\pi}{2} sinx \ sin3x\ dx$

➁$\int_{0}^\pi |cosx |\ dx$

③$\int_{0}^\pi |sinx -\sqrt{3}\ cosx|\ dx$