問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 空間内の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする。点D,P,Qを次のように定める。点Dは$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}$+$2\overrightarrow{OB}$+$3\overrightarrow{OC}$を満たし、点Pは線分OAを1：2に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR：RDを求めよ。

2023京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす球面の方程式を求めよ。
(1)直径の両端が2点(1,-4,3) (3,0,1)である。
(2)点(1,-2,5)を通り、3つの座標平面に接する。

問題文全文(内容文)：
3 空間内に平行四辺形 $\text{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\text{O}-\text{ABCD}$ があり，平行四辺形 $\text{ABCD}$ は $\text{AC} = \sqrt{61}, \text{BD} = \sqrt{21}$ を満たしている。また，線分 $\text{AC}$ と線分 $\text{BD}$ の交点を $\text{H}$ とすると，直線 $\text{OH}$ は平面 $\text{ABC}$ に垂直で
$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = -\frac{1}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OD}} = \frac{19}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = \frac{25}{2}$
が成り立っている。このとき
$\text{OA} = \sqrt{\text{[アイ]}}, \quad \text{OB} = \text{[ウ]} \sqrt{\text{[エ]}}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = \text{[オカ]}$
である。
(1) $\text{AB} = \text{[キ]}, \quad \text{BC} = \text{[ク]}$ である。
また，平行四辺形 $\text{ABCD}$ の面積を $S$ とすると，$S = \text{[ケコ]} \sqrt{\text{[サ]}}$ である。
(2) 線分 $\text{OA}$ の中点を $\text{P}$，線分 $\text{OB}$ を $3 : 1$ に内分する点を $\text{Q}$，線分 $\text{OD}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\text{R}$ とし，平面 $\text{PQR}$ と直線 $\text{OC}$ の交点を $\text{T}$ とする。$\overrightarrow{\text{OT}}$ を $\overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと $\overrightarrow{\text{OT}} = \frac{\text{[シ]}}{\text{[スセ]}} \overrightarrow{\text{OC}}$ である。線分 $\text{PT}$ と線分 $\text{QR}$ の交点を $\text{U}$ とするとき，$\overrightarrow{\text{OU}}$ を $\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと
$\overrightarrow{\text{OU}} = \frac{\text{[ソ]}}{\text{[タチ]}} (\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}})$
である。
また，$\overrightarrow{\text{UO}} \cdot \overrightarrow{\text{UD}} = w_1, \quad \overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} = w_2$ とするとき
$\frac{w_1}{w_2} = \frac{\text{[ツテト]}}{\text{[ナニ]}}$
である。

問題文全文(内容文)：
大きさが2で,x軸の正の向きとなす角が45°、y軸の正の向きとなす角が60°であるような空間ベクトルを成分表示せよ。また,そのベクトルがz軸の正の向きとなす角は何度か。

問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に3点 $\mathrm{A}(2,2,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{P}(t,t,t)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面を $K$ とし、球面 $K$ の中心を $\mathrm{C}$ とする。ただし、$t$ は正の実数とする。
(1) $\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OB}} =$ [ あ ] である。また、球面 $K$ の方程式は$$x^2 + y^2 + z^2 - [ い ]x - [ う ]y - [ え ]z + [ お ] = 0$$である。
(2) 直線 $\mathrm{OP}$ と球面 $K$ の共有点を $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ とし、$\mathrm{OP}_1 < \mathrm{OP}_2$ とする。$\mathrm{P}_1$ の $x$ 座標は [ か ] / [ き ] であり、$\mathrm{P}_2$ の $x$ 座標は [ く ] である。このとき、三角形 $\mathrm{CP}_1\mathrm{P}_2$ の面積は [ け ][ こ ] $\sqrt{[ さ ]}$ / [ し ] である。
(3) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面が球面 $K$ と接するとき、接点の座標を $(p,q,r)$ とすると、$p = [ す ] \mp [ せ ] \sqrt{[ そ ]} / [ た ]$ である。ただし、2つずつある [ す ][ せ ][ そ ][ た ] にはそれぞれ同じものが入る。このとき、2つの $p$ の値に対応する接点を $p$ の値が小さい順に $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ とし、$\mathrm{T}_2$ から直線 $\mathrm{OT}_1$ に水線 $\mathrm{T}_2\mathrm{D}$ を引くと、$\mathrm{D}$ の座標は ( [ ち ] / [ つ ], [ て ] + $\sqrt{[ と ]}$ / [ な ], [ に ] / [ ぬ ] ) である。
(4) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面 $\alpha$ との共有部分が円 $R$ となるときを考える。ただし、平面 $\alpha$ が点 $\mathrm{C}$ を通るときを除くとする。このとき、$\mathrm{C}$ を頂点とし円 $R$ を底面とする円すいの体積の最大値は [ ね ][ の ] $\sqrt{[ は ]}$ / [ ひ ][ ふ ] である。