問題文全文(内容文)：
$a_0=1$一般項を求めよ$(n$自然数$)$
$a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n 3^ka_{n-k}$

出典：2000年横浜国立大学　過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい\\
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。\\
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ\\
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに\\
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩\\
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は\\
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に\\
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び\\
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転\\
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い\\
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。\\
x=a_nを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=b_nをそのときの歩\\
行者の位置とする。\\
\\
\\
(1) 花子さんと太郎さんは、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項を求めるために、歩行者\\
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標\\
平面上の点(x,y)で表すことにした。\\
a_1=2,b_1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転\\
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を\\
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき\\
の時刻と位置を表す点の座標は(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })である。よって\\
a_2=\boxed{\ \ イ\ \ },　b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
である。\\
\\
花子:数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項について考える前に、\\
(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })の求め方について整理してみようか。\\
太郎:花子さんはどうやって求めたの？\\
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと\\
を利用したよ。\\
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を\\
計算して求めることもできるね。\\
\\
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標\\
は(a_n,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は\\
(a_n,b_n)である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に\\
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、a_n,b_nを用いて、\\
(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })と表せる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪a_n　①b_n　②2a_n\\
③a_n+b_n　④2b_n　⑤3a_n\\
⑥2a_n+b_n　⑦a_n+2b_n　⑧3b_n\\
\\
以上から、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}について、自然数nに対して、関係式\\
a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ }　\ldots①\\
b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ }　\ldots②\\
が成り立つことが分かる。まず、b_1=2と②から\\
b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)\\
を得る。この結果と、a_1=2および１から\\
a_n=\boxed{\ \ コ\ \ }　(n=1,2,3,\ldots)\\
がわかる。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪3^{n-1}+1　①\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}\\
②3^{n-1}+n　③\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}\\
④3^{n-1}+n^2　⑤\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}\\
⑥2・3^{n-1}　⑦\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}\\
⑧2・3^{n-1}+n-1　⑨\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}\\
ⓐ2・3^{n-1}+n^2-1　ⓑ\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}\\
\\
\\
(2)歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく\\
回数は\boxed{\ \ サ\ \ }回である。また、\boxed{\ \ サ\ \ }回目に自転車が歩行者に追いつく\\
時刻は、x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$a_1=a_2=1$,$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$である.
一般項を求めよ.

横浜市立(医)過去問

問題文全文(内容文)：
$n$は自然数である.
$x^2-3x+5=0$の2つの解を$\alpha,\beta$とする.
$\alpha^n+\beta^n-3^n$は5の倍数であることを示せ.

2013東工大過去問

問題文全文(内容文)：
数列｛$a_n$｝を次のように定める。
$a_1=1$ , $a_{n+1}={a_n}^2+1(n=1,2,3\cdots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)$a_n$が$a_k$の倍数となる必要十分条件をk,nを用いて示せ。(k,n:正の整数)
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。

2022東京大学理系