問題文全文(内容文)：
点$O$を中心とし半径が$1$の円形のビリヤード台がある。台の縁の点$P_1$に大きさが無視できる球$Q$を置き、半径$P_1O$とのなす角が$\frac{\pi}{8}$の方向へ球$Q$を打ち出す。
球$Q$は、ビリヤード台の縁に当たると、図のように入射角と反射角が等しくなるように反射し、一度打ち出されたら止まらないものとする。
$i=1,2,3,\cdots$に対し、点$P_i$の次に球$Q$が縁に当たる点を$P_{i+1}$とし、$\overrightarrow{OP_i}=\overrightarrow{p_i}$とする。
（1）$\overrightarrow{p_3}=\fbox{あ}\overrightarrow{p_1}+\fbox{い}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{p_4}=\fbox{う}\overrightarrow{p_1}+\fbox{え}\overrightarrow{p_2}$である。
（2）$P_i=P_1となるiのうち、 i\geqq 2で最小のものは\fbox{ソ}である。$
（3）$線分P_1P_2とP_3P_4 との交点をA、線分P_1P_2とP_6P_7との交点をBとすると$
$\overrightarrow{OA}=\fbox{お}\overrightarrow{p_1}+\fbox{か}\overrightarrow{p_2},\overrightarrow{OB}=\fbox{き}\overrightarrow{p_1}+\fbox{く}\overrightarrow{p_2}$である。
（4）球$Q$が点$P_1$から打ち出されてから初めて再び点$P_1$に到達するまでに、中心$O$と球$Q$とを結ぶ線分$OQ$がちょうど2回通過する領域の面積は$\fbox{タ}+\fbox{チ}\sqrt{2}$である。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$コインを繰り返し,連続した3回が順に,表→裏→表,あるいは,裏→表→裏,というパターンが出たときにコイン投げを終了する.$n\geqq 3$に対し,コインをちょうど$n$回投げて終了する確率を$p_n$とする.
以下の手順により$p_n$を求める.コインを$n$回投げて,「まだ終了していないが$n+1$回目に表が出たら終了する」または「まだ終了してないが$n+1$回目に裏が出たら終了する.」という状態にある確率を$r_n$とする.またコインを$n$回投げて「まだ終了しておらず,$n+1$回目に表が出ても裏が出ても終了しない」という状態にある確率を$s_n$とする.
このとき,$r_3=\dfrac{1}{4},s_3=\boxed{ク},r_4=\dfrac{1}{4},s_4=\boxed{ケ}$である.
ここで,$r_{n+4}$と$r_{n},s_n$を用いて表すと,それぞれ$r_{n+1}=\boxed{コ}$,$s_{n+1}=\boxed{サ}$となる.

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2024 !の末尾に並ぶ 0 の個数を求めよ。

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2008東北大学過去問題
$a_1=2 \quad a_{n+1}=\frac{4a_n+1}{2a_n+3}$
(1)$b_n = \frac{a_n+β}{a_n+α}$として$\{ b_n \}$が等比数列となるようなα,β(α>β)を1組求めよ。
(2)$\{ a_n \}$の一般項$a_n$を求めよ。

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サイコロを$n$回振って,出た目の積を5で割った余りが1である確率$p_n$を求めよ.