数学「大学入試良問集」【19−23 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：
図のような1辺の長さ

a

の立方体

A B C D - E F G H

がある。
線分

A F, B G, C H, D E

上にそれぞれ動点

P, Q, R, S

があり、頂点

A, B, C, D

を同時に出発して同じ速さで頂点

F, G, H, E

まで動く。
このとき、四角形

P Q R S

が通過してできる立体の体積を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京学芸大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
図のような1辺の長さ

a

の立方体

A B C D - E F G H

がある。
線分

A F, B G, C H, D E

上にそれぞれ動点

P, Q, R, S

があり、頂点

A, B, C, D

を同時に出発して同じ速さで頂点

F, G, H, E

まで動く。
このとき、四角形

P Q R S

が通過してできる立体の体積を求めよ。

投稿日：2021.09.25

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{\sin θ + \cos θ}{3 + \sin 2 θ} d θ

出典：1938年京都帝国大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

出典：2023年岡山県立大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 3 x^{2}}} d x

を計算せよ。

出典：1987年奈良県立医科大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int x e^{- x} \sin x d x

出典：2020年東北医科薬科大学　入試問題

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

(1)0≦

x

≦

\frac{π}{2}

において常に不等式|

b

|≦|

b

+1-

b \cos x

|が成り立つような実数

b

の値の範囲は

シ

≦

b

≦

ス

である。
以下、

b

を

シ

≦

b

≦

ス

を満たす0でない実数とし、数列

{a_{n}}

を

a_{n}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x (\cos x)^{n - 1}}{(b + 1 - b \cos x)^{n}} d x

　(n=1,2,3,...)で定義する。
(2)

lim_{n \to \infty} b^{n} a_{n}

=0　が成り立つことを証明しなさい。
(3)

a_{1}

セ

である。
(4)

a_{n + 1}

を

a_{n}

n

b

を用いて表すと

a_{n + 1}

ソ

となる。
(5)

lim_{n \to \infty} {\frac{1}{1 ・ 2} - \frac{1}{2 ・ 2^{2}} + \frac{1}{3 ・ 2^{3}} - . . . + \frac{(- 1)^{n + 1}}{n ・ 2^{n}}}

タ

である。

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