【数Ⅲ】微分法：対数微分、この計算式をどうしますか？

問題文全文(内容文)：

f (x) = (1 + a^{x})^{\frac{1}{x}}

は,

0 ＜ a ＜ 1

の時単調である
[上級問題精講数学Ⅲ、416(1)]

チャプター：

0:00　問題
0:15　対数微分
1:00　出てきた式をどう判断するか？
2:38　式を見て判断してみよう

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

f (x) = (1 + a^{x})^{\frac{1}{x}}

は,

0 ＜ a ＜ 1

の時単調である
[上級問題精講数学Ⅲ、416(1)]

投稿日：2021.08.20

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

Oを原点とする座標空間に2点A(0,0,1), B(0,0,-1)がある。r＞0, -π≦θ＜πに対して、2点P(r

\cos θ

\sin θ

,0),Q(

\frac{1}{r} \cos θ

\frac{1}{r} \sin θ

,0)をとり、2直線APとBQの交点をR(a,b,c)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)点G(4,1,1)をとる。r,θがr

\cos θ

\frac{1}{2}

を満たしながら変化するとき、内積

\vec{O G} ・ \vec{O R}

の最大値とそのときのa,b,cの値を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

x

≧2 を満たす実数

x

に対し、

f (x)

\frac{\log (2 x - 3)}{x}

とおく。必要ならば、

lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}

=0 であること、および自然対数の底

e

が2＜

e

＜3 を満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1)

f^{'} (x)

\frac{g (x)}{x^{2} (2 x - 3)}

とおくとき、関数

g (x)

(

x

≧2)を求めよ。
(2)(1)で求めた関数

g (x)

に対し、

g (α)

=0 を満たす2以上の実数

α

がただ一つ存在することを示せ。
(3)関数

f (x)

(

x

≧2)の増減と極限

lim_{t \to \infty} f (x)

を調べ、

y

f (x)

(

x

≧2)のグラフの概形を

x y

平面上に描け。ただし(2)の

α

を用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4)2≦

m

＜

n

を満たす整数

m

n

の組(

m

n

)に対して、等式
(＊)

(2 m - 3)^{n}

(2 n - 3)^{m}

が成り立つとする。このような組(

m

n

)をすべて求めよ。

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【微分の定義は？！】微分の定義をイメージで解説しました！【数学III】

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問題文全文(内容文)：
微分の定義をイメージで解説します。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
aを実数、

0 < a < 1

とし、

f (x) = \log (1 + x^{2}) - a x^{2}

とする。以下の問いに答えよ.
(1)関数f(x)の極値を求めよ。
(2)

f (1) = 0

とする。曲線

y = f (x)

とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

f (x)

は0でない整式で次を満たすとする。
・

x f^{″} (x) + (1 - x) f^{'} (x) + 3 f (x) = 0

・

f (0) = 1

（１）

f (x)

の次数を求めよ
（２）

f (x)

を求めよ

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