福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第2問〜重複順列と連立漸化式

問題文全文(内容文)：

2

n

を自然数とし、数1, 2, 4を重複を許して

n

個並べてできる

n

桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を

a_{n}

、3で割ると1余るものの個数を

b_{n}

、3で割ると2余るものの個数を

c_{n}

とする。
(1)

a_{n + 1}

を

b_{n}

c_{n}

を用いて表せ。同様に

b_{n + 1}

を

a_{n}

c_{n}

を用いて、

c_{n + 1}

を

a_{n}

b_{n}

を用いて表せ。
(2)

a_{n + 2}

を

n

と

c_{n}

を用いて表せ。
(3)

a_{n + 6}

を

n

と

a_{n}

を用いて表せ。
(4)

a_{6 m + 1} (m = 0, 1, 2, . . .)

を

m

を用いて表せ。

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

n

を自然数とし、数1, 2, 4を重複を許して

n

個並べてできる

n

桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を

a_{n}

、3で割ると1余るものの個数を

b_{n}

、3で割ると2余るものの個数を

c_{n}

とする。
(1)

a_{n + 1}

を

b_{n}

c_{n}

を用いて表せ。同様に

b_{n + 1}

を

a_{n}

c_{n}

を用いて、

c_{n + 1}

を

a_{n}

b_{n}

を用いて表せ。
(2)

a_{n + 2}

を

n

と

c_{n}

を用いて表せ。
(3)

a_{n + 6}

を

n

と

a_{n}

を用いて表せ。
(4)

a_{6 m + 1} (m = 0, 1, 2, . . .)

を

m

を用いて表せ。

投稿日：2024.05.10

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = - 1

一般項を求めよ

2 \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n} - 1

出典：2006年山形大学　過去問

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数列の収束

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問題文全文(内容文)：
数列の収束に関して解説していきます.

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問題文全文(内容文)：
正しいものを1つ選べ
(1)4の倍数かつ6の倍数の数は24の倍数
(2)0.14はπの小数部分
(3)

\sqrt{2 n}

が整数となる最小の整数nは2
(4)

230 - 220 \div 2 = 5

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に 3 点

A_{0} (0, 0), B_{0} (2, 0), C_{0} (1, \sqrt{3})

があり、線分

A_{0} B_{0}, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}

をそれぞれ 2 : 1 に内分する点

A_{1}, B_{1}, C_{1}

をとる。以下同様にして、正の整数nに対し、線分

A_{n} B_{n}, B_{n} C_{n}, C_{n} A_{n}

をそれぞれ 2 : 1 に内分する点

A_{n + 1}, B_{n + 1}, C_{n + 1}

をとる。また、

\vec{P_{n}} = \vec{B_{n - 1} B_{n}} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

とおく。
(1)

\vec{p_{1}}, \vec{p_{2}}

をそれぞれ成分表示せよ。
(2)

\vec{p_{n + 2}} を \vec{p_{n}}

を用いて表せ。
(3)

\sum_{k = 1}^{n} \vec{p_{2 k - 1}}

を

\vec{p - 1}

を用いて表せ。
(4)点B_{2n}の座標を求めよ。

2023北里大学医過去問

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