福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第5問〜定積分で定義された数列と極限 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第5問〜定積分で定義された数列と極限

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{5}$ $a_n$=$\displaystyle\frac{1}{n!}\int_1^e(\log x)^ndx$ ($n$=1,2,3,...)とおく。
(1)$a_1$を求めよ。
(2)不等式0≦$a_n$≦$\frac{e-1}{n!}$ が成り立つことを示せ。
(3)$n$≧2のとき、$a_n$=$\displaystyle\frac{e}{n!}$-$a_{n-1}$ であることを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ を求めよ。
単元: #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和(等差・等比・階差・Σ)#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#青山学院大学
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{5}$ $a_n$=$\displaystyle\frac{1}{n!}\int_1^e(\log x)^ndx$ ($n$=1,2,3,...)とおく。
(1)$a_1$を求めよ。
(2)不等式0≦$a_n$≦$\frac{e-1}{n!}$ が成り立つことを示せ。
(3)$n$≧2のとき、$a_n$=$\displaystyle\frac{e}{n!}$-$a_{n-1}$ であることを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ を求めよ。
投稿日:2023.09.06

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$\frac{(x^2-1)!}{x^2-1} = 23!$のとき
x=?
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$a_1=1$
$3(a_1+a_2+\cdots +a_n)=(n+2)a_n$
(1)一般項$a_n$を求めよ。
(2)$\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$
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$a_{1}=\frac{1}{2}$,$a_{n+1}=\frac{2}{1+a_{n}}$
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数列$b_{n}$の三項間漸化式をつくれ
$a_{n}$の一般項を求めよ
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問題文全文(内容文):
$\displaystyle \sum_{k\to1}^k・2^k$の和を求めよ.
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