福田の数学〜一橋大学2023年文系第４問〜群数列

問題文全文(内容文)：

4

xy平面上で、x座標とy座標がともに正の整数であるような各点に、下の図のような番号をつける。(※動画参照)点(m, n)につけた番号をf(m, n)とする。
たとえば、

f (1, 1) = 1, f (3, 4) = 19

である。
(1)

f (m, n) + f (m + 1, n + 1) = 2 f (m, n + 1)

が成り立つことを示せ。
(2)

f (m, n) + f (m + 1, n) + f (m, n + 1) + f (m + 1, n + 1) = 2023

となるような整数の組(m, n)を求めよ。

2023一橋大学文系過去問

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

f (1, 1) = 1, f (3, 4) = 19

である。
(1)

f (m, n) + f (m + 1, n + 1) = 2 f (m, n + 1)

が成り立つことを示せ。
(2)

f (m, n) + f (m + 1, n) + f (m, n + 1) + f (m + 1, n + 1) = 2023

となるような整数の組(m, n)を求めよ。

2023一橋大学文系過去問

投稿日：2023.05.29

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群数列　近江高校（改）

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指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
群数列

\frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{3}{4} \frac{2}{4} \frac{1}{4} \frac{4}{5} \frac{3}{5}

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

近江高等学校（改）

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福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第３問〜数列の部分和と一般項の関係

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　数列

{a_{n}}

に対して、

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。

{a_{n}}

は、

a_{2} = 1, a_{6} = 2

および
(*)

S_{n} = \frac{(n - 2) (n + 1)^{2}}{4} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。

(1)

a_{1} = - ア

である。(*)で

n = 4, 5

とすると、

a_{3} + a_{4}

と

a_{5}

の関係が2通り定まり、

a_{5} = イ

と求まる。さらに(*)で

n = 3

として、

a_{3} = ウ エ, a_{4} = オ カ

と求まる。

(2)

n ≧ 2

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから(*)とあわせて

(n - キ) (n + ク)^{2} a_{n + 1} = (n^{3} - ケ n^{2} + コ) a_{n} (n = 2, 3, \dots)

ゆえに、

n ≧ 3

ならば

(n + サ) a_{n + 1} = (n - シ) a_{n}

となる。そこで、

n ≧ 3

に
対して

b_{n} = (n - r) (n - s) (n - t) a_{n}

とおくと、漸化式

b_{n + 1} = b_{n} (n z - 3, 4, 5, \dots)

が成り立つ。ただしここに、

r < s < t

として

r = ス, s = セ, t = ソ

である。
したがって、

n ≧ 4

に対して

a_{n} = \frac{ソ a_{4}}{(n - r) (n - s) (n - t)}

となる。この式は

n = 3

の時も成立する。

(3)

n ≧ 2

に対して

S_{n} = \frac{チ ツ (n + テ) (n - ト)}{n (n - ナ)}

であるから、

S_{n} ≧ 59

となる最小の

n

は

n = ニ ヌ

である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問

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大学入試問題#862「計算力と根性！」　#京都大学(2023)　#数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n} = \frac{S_{n}}{n} + (n - 1) ・ 2^{n} \end{cases} \end{array}

を満たすような数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ

出典：2023年京都大学　入試問題

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中央大　三項間漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2023中央大学過去問題

a_{n} = (2 + \sqrt{3})^{n} + (2 - \sqrt{3})^{n}

①

a_{n + 2} + a_{n} = 4 a_{n + 1}

を示せ
②

a_{n + 1} + a_{n}

は3の倍数であることを示せ
③

a_{2023}

を3で割った余り

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第１問(5)〜群数列

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
自然数n が 2n-1 個続く、初項が1の次のような数列がある。
1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5,…

このとき、自然数 m が初めて現れるのは第何項か。
また第 2022項はいくつか。

2022立教学部経済学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜一橋大学2023年文系第４問〜群数列

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