福田のわかった数学〜高校３年生理系058〜微分(3)媒介変数表示の微分

問題文全文(内容文)：
数列

III

　微分(3)　媒介変数表示

x = a (θ - \sin θ), y = a (1 - \cos θ)

のとき、

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を

θ

で表せ。

単元： #平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

III

　微分(3)　媒介変数表示

x = a (θ - \sin θ), y = a (1 - \cos θ)

のとき、

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を

θ

で表せ。

投稿日：2021.08.03

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}

z ≧ 0

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

z ≧ 0

xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

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大学入試問題#133　京都大学(2009)　極方程式の曲線の長さ

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
極方程式

r = 1 + \cos θ

(0 ≦ θ ≦ π)

で表される曲線の長さ

l

を求めよ。

出典：2009年京都大学　入試問題

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福田の数学〜浜松医科大学2022年医学部第１問〜媒介変数表示で表された曲線の長さと接線の傾きと体積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
媒介変数

t (t ≧ 0)

に対して、

x = \frac{4}{\sqrt{3}} t^{\frac{3}{2}}, y = 2 t

で表される曲線C上に
点

P_{1}

と

P_{2}

がある。原点から点

P_{1}

までの曲線の長さは

\frac{28}{9}

であり、点

P_{2}

における曲線C
の接線の傾きは

\frac{1}{3}

である。以下の問いに答えよ。
(1)点

P_{1}

の座標

(x_{1}, y_{1})

を求めよ。
(2)点

P_{2}

の座標

(x_{2}, y_{2})

を求めよ。
(3)曲線Cとy軸、および2直線

y = y_{1}, y = y_{2}

で囲まれた図形を、y軸の周りに1回転
してできる回転体を考える。この回転体の体積を求めよ。

2022浜松医科大学医学部過去問

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福田の数学〜九州大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

xy平面上の曲線Cを、媒介変数

t

を用いて次のように定める。

x

t

\sin^{2} t

y

t

\sin t

　(0＜

t

＜

π

)
以下の問いに答えよ。
(1)曲線Cに接する直線のうち

y

軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線Cのうち

y

≦

x

の領域にある部分と直線

y

x

で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜軌跡(3)媒介変数表示の点、高校2年生

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　次の媒介変数表示で表された点

P (x, y)

の軌跡を求めよ。

(1)

x = \frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}},

y = \frac{\cos θ - \sin θ}{\sqrt{2}}

　(

θ

は任意の実数)

(2)

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},

y = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

　(

t

は任意の実数)

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