問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ a \to \infty }\displaystyle \int_{0}^{log\ a}\displaystyle \frac{e^x}{e^x+a}dx$

出典：2013年青山学院大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{2}^{4} log_2\ x\ dx$

出典：2021年日本工業大学

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は区間$x \geqq 0$において連続な増加関数で$f(0)=1$を満たすとする。
ただしf(x)が区間$x \geqq 0$における増加関数であるとは、区間内の任意の実数$x_1,x_2$に対し
$x_1 \lt x_2$ならば$f(x_1) \lt f(x_2)$が成り立つ時をいう。以下、nは正の整数とする。
(1)$\lim_{n \to \infty}\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx=\infty$　を示せ。
(2)区間$y \gt 2$ において関数$F_n(y)$を$F_n(y)=\int_{2+\frac{1}{n}}^y\frac{f(x)}{2-x}dx$と定めるとき、

$\lim_{y \to \infty}F_n(y)=\infty$を示せ。また$2+\frac{1}{n}$より大きい実数$a_n$で

$\int_0^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx+\int_{{2+\frac{1}{n}}}^{a_n}\frac{f(x)}{2-x}dx=0$

を満たすものがただ1つ存在することを示せ。
(3)(2)の$a_n$について、不等式$a_n \lt 4$がすべてのnに対して成り立つことを示せ。

2022名古屋大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
シュワルツの不等式
\[
\left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leq
\left( \int_a^b \{ f(x) \}^2 dx \right)
\left( \int_a^b \{ g(x) \}^2 dx \right) \quad (a < b)
\]

を利用して、\( 0 < a < b, \, h(x) > 0 \) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

(1)
\[
(b - a)^2 < \int_a^b x^2 \, dx \int_a^b \frac{dx}{x^2}
\]

(2)
\[
(b - a)^2 \leq \int_a^b h(x) \, dx \int_a^b \frac{dx}{h(x)}
\]

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2nk-k^2 }}$の極限値を求めよ。