大学入試問題#899「初めてのベクトルやってみた」 #北海道大学(2024) - 質問解決D.B.(データベース)

大学入試問題#899「初めてのベクトルやってみた」 #北海道大学(2024)

問題文全文(内容文):
三角形$OAB$が
$|\overrightarrow{ OA }|=3,$ $|\overrightarrow{ AB }|=5,$ $\overrightarrow{ OA }.\overrightarrow{ AB }=10$
を満たしているとする。
三角形$OAB$の内接円の中心を$I$とし、この内接円と辺$OA$の接点を$H$とする。

1.辺$OB$の長さを求めよ。
2.$\overrightarrow{ OI }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表せ。
3.$\overrightarrow{ HI }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表せ。

出典:2024年北海道大学
単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C
指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
三角形$OAB$が
$|\overrightarrow{ OA }|=3,$ $|\overrightarrow{ AB }|=5,$ $\overrightarrow{ OA }.\overrightarrow{ AB }=10$
を満たしているとする。
三角形$OAB$の内接円の中心を$I$とし、この内接円と辺$OA$の接点を$H$とする。

1.辺$OB$の長さを求めよ。
2.$\overrightarrow{ OI }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表せ。
3.$\overrightarrow{ HI }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表せ。

出典:2024年北海道大学
投稿日:2024.08.09

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辺BCとの交点をそれぞれP,Qとする。

(1)aを用いて表すと、$AP=\frac{\boxed{二}}{\boxed{ヌ}}a^2+\frac{\boxed{ネ}}{\boxed{ノ}}$である.
(2)aを用いて表すと、$BQ=\frac{\boxed{ハ}}{\boxed{ヒ}}a^2+
\frac{\boxed{フ}}{\boxed{ヘ}}a+\frac{\boxed{ホ}}{\boxed{マ}}$である。
(3)aを用いて表すと、$PQ=\frac{\boxed{ミ}}{\boxed{ム}}\sqrt{a^2+\boxed{メ}}$である。
(4)四角形ABQPの面積はaを用いて表すと、$\frac{\boxed{モ}}{\boxed{ヤ}}a^2+\frac{\boxed{ユ}}{\boxed{ヨ}}a+\boxed{ラ}$
であり、その最小値は$\frac{\boxed{リ}}{\boxed{ル}}$である。

2019上智大過去問
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