問題文全文(内容文)：
$e^π$と$π^e$の大小を比較してください。

問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に3点 $\mathrm{A}(2,2,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{P}(t,t,t)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面を $K$ とし、球面 $K$ の中心を $\mathrm{C}$ とする。ただし、$t$ は正の実数とする。
(1) $\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OB}} =$ [ あ ] である。また、球面 $K$ の方程式は$$x^2 + y^2 + z^2 - [ い ]x - [ う ]y - [ え ]z + [ お ] = 0$$である。
(2) 直線 $\mathrm{OP}$ と球面 $K$ の共有点を $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ とし、$\mathrm{OP}_1 < \mathrm{OP}_2$ とする。$\mathrm{P}_1$ の $x$ 座標は [ か ] / [ き ] であり、$\mathrm{P}_2$ の $x$ 座標は [ く ] である。このとき、三角形 $\mathrm{CP}_1\mathrm{P}_2$ の面積は [ け ][ こ ] $\sqrt{[ さ ]}$ / [ し ] である。
(3) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面が球面 $K$ と接するとき、接点の座標を $(p,q,r)$ とすると、$p = [ す ] \mp [ せ ] \sqrt{[ そ ]} / [ た ]$ である。ただし、2つずつある [ す ][ せ ][ そ ][ た ] にはそれぞれ同じものが入る。このとき、2つの $p$ の値に対応する接点を $p$ の値が小さい順に $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ とし、$\mathrm{T}_2$ から直線 $\mathrm{OT}_1$ に水線 $\mathrm{T}_2\mathrm{D}$ を引くと、$\mathrm{D}$ の座標は ( [ ち ] / [ つ ], [ て ] + $\sqrt{[ と ]}$ / [ な ], [ に ] / [ ぬ ] ) である。
(4) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面 $\alpha$ との共有部分が円 $R$ となるときを考える。ただし、平面 $\alpha$ が点 $\mathrm{C}$ を通るときを除くとする。このとき、$\mathrm{C}$ を頂点とし円 $R$ を底面とする円すいの体積の最大値は [ ね ][ の ] $\sqrt{[ は ]}$ / [ ひ ][ ふ ] である。

問題文全文(内容文)：
対数微分法により次の関数を微分せよ。ただし、aは定数とする。

y= (x+1)²/((x+2)³(x+3)⁴）
以下、略

次の関数を微分せよ。ただし x＞0 とする。
y= x^sinx
以下、略

lim_(k→0) (1+k)^(1/k)=e を用いて、次の極限を求めよ。
lim_(x→0) ((log(1+x)/x)
以下、略

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　極値(1)
$f(x)=\frac{a-\cos x}{a+\sin x}\ が0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$の範囲で
極大値をもつように定数aの値の範囲を定めよ。

問題文全文(内容文)：
$r$を正の実数とし、円$C_1:(x-2)^2+y^2=r^2$、楕円$C_2:\frac{x^2}{9}+y^2=1$を考える。
(1)円$C_1$と楕円$C_2$の共有点が存在するようなrの値の範囲は$\boxed{\ \ カ\ \ } \leqq r \leqq \boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$r=1$のとき、$C_1$と$C_2$の共有点の座標を全て求めると$\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を$y_0$とする。連立不等式

$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
0 \leqq y \leqq y_0\\
\end{array}\right.$
の表す領域の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。

(3)連立不等式
$\left\{\begin{array}{1}
(x-2)^2+y^2 \leqq 1\\
\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2 \geqq 1\\
y \geqq 0\\
\end{array}\right.$
の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問