福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題029〜九州大学2016年度理系第５問〜ドモアブルの定理と三角関数

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

θ

を

0 ≦ θ < 2 π

を満たす実数、iを虚数単位とし、

z = \cos θ + i \sin θ

で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。

\cos n θ = \frac{1}{2} (z^{n} + \frac{1}{z^{n}}), \sin n θ = - \frac{i}{2} (z^{n} - \frac{1}{z^{n}})

(2)次の方程式を満たす実数

x (0 ≦ x < 2 π)

を求めよ。

\cos x + \cos 2 x - \cos 3 x = 1

(3)次の式を証明せよ。

\sin^{2} 20 ° + \sin^{2} 40 ° + \sin^{2} 60 ° + \sin^{2} 80 ° = \frac{9}{4}

2016九州大学理系過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#三角関数#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

θ

を

0 ≦ θ < 2 π

を満たす実数、iを虚数単位とし、

z = \cos θ + i \sin θ

で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。

\cos n θ = \frac{1}{2} (z^{n} + \frac{1}{z^{n}}), \sin n θ = - \frac{i}{2} (z^{n} - \frac{1}{z^{n}})

(2)次の方程式を満たす実数

x (0 ≦ x < 2 π)

を求めよ。

\cos x + \cos 2 x - \cos 3 x = 1

(3)次の式を証明せよ。

\sin^{2} 20 ° + \sin^{2} 40 ° + \sin^{2} 60 ° + \sin^{2} 80 ° = \frac{9}{4}

2016九州大学理系過去問

投稿日：2022.12.14

＜関連動画＞

【数C】【複素数平面】複素数の大きさ ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

z = 2 - i

のとき、

| z + \frac{1}{z} |^{2}

の値を求めよ。

この動画を見る　

数学「大学入試良問集」【16−1 複素数平面と解と係数の関係】を宇宙一わかりやすく

単元： #複素数平面#複素数平面#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#数学(高校生)#数C#京都大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

c

を実数とする。

x

についての2次方程式

x^{2} + (3 - 2 c) x + c^{2} + 5 = 0

が2つの解

α, β

を持つとする。
複素平面上の3点

α, β, c^{2}

が三角形の3頂点になり、その三角形の重心は

0

であるという。

c

を求めよ。

この動画を見る　

大学入試問題#594「やばいのは見た目だけ」　東京帝国大学(1926)　#複素数

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sqrt[3]{i}

を求めよ。

(i^{2} = - 1)

出典：1926年東京帝国大学医学部　入試問題

この動画を見る　

2023藤田医科大　１の７乗根の基本問題

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

Z = \cos \frac{2}{7} π + i \sin \frac{2}{7} π の と き Z^{7} = Z^{6} + Z^{5} + Z^{4} + Z^{3} + Z^{2} + Z = (1 - Z) (1 - Z^{2}) (1 - Z^{3}) \times (1 - Z^{4}) (1 - Z^{5}) (1 - Z^{6}) = を 答 え よ .

この動画を見る　

福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜点の軌跡(2)

単元： #数Ⅱ#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　点

z

が原点中心、半径1の円周上を動くとき、次の条件を満たす
点

w

はどのような図形を描くか。
(1)

w = 2 i z + 1

(2)

w = \frac{3 z - 2 i}{z - 2}

2

\frac{z}{z^{2} + 1}

が実数となるように

z

が動くとき、
点

z

はどのような図形を描くか。

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題029〜九州大学2016年度理系第５問〜ドモアブルの定理と三角関数

＜関連動画＞

【数C】【複素数平面】複素数の大きさ ※問題文は概要欄

数学「大学入試良問集」【16−1 複素数平面と解と係数の関係】を宇宙一わかりやすく

大学入試問題#594「やばいのは見た目だけ」 東京帝国大学(1926) #複素数

2023藤田医科大 １の７乗根の基本問題

福田の一夜漬け数学〜数学III 複素数平面〜点の軌跡(2)