問題文全文(内容文)：
素数p,qを用いて
$p^q+q^p$
と表される素数を全て求めよ。

2016京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$x^2-4x+1=0$の解を$\alpha ,\beta (\alpha >\beta )$とする.

(1)${\alpha }^n+{\beta }^m$は偶数であることを示せ.
(2)$[{\alpha }^n]$は奇数であることを示せ.

2018香川(医)過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ 実数が書かれた3枚のカード$\boxed{{\displaystyle 0}}$,$\boxed{{\displaystyle 1}}$,$\boxed{{\displaystyle \sqrt{3}}}$から無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数nに対して、この操作をn回繰り返して得られるn個の複素数の積を$z_n$で表す。
(1)|$z_n$|＜5となる確率$P_n$を求めよ。
(2)$z_n^2$が実数となる確率$Q_n$を求めよ。

2023東京工業大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
$x=a_n$を自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、$y=b_n$をそのときの歩
行者の位置とする。

(1) 花子さんと太郎さんは、数列$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$の一般項を求めるために、歩行者
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標
平面上の点(x,y)で表すことにした。
$a_1=2,b_1=2$により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき
の時刻と位置を表す点の座標は$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})$である。よって
$a_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}, b_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
である。

花子:数列$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$の一般項について考える前に、
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})$の求め方について整理してみようか。
太郎:花子さんはどうやって求めたの？
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと
を利用したよ。
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を
計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標
は$(a_n,0)$であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
$(a_n,b_n)$である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、$a_n,b_n$を用いて、
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})$と表せる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$a_n$　①$b_n$　②$2a_n$
③$a_n+b_n$　④$2b_n$　⑤$3a_n$
⑥$2a_n+b_n$　⑦$a_n+2b_n$　⑧$3b_n$

以上から、数列$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$について、自然数nに対して、関係式
$a_{n+1}=a_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}{b}_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}} \dots \mathrm{①}$
$b_{n+1}=3b_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}} \dots \mathrm{②}$
が成り立つことが分かる。まず、$b_1=2$と②から
$b_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}} (n=1,2,3,\dots )$
を得る。この結果と、$a_1=2$および１から
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}} (n=1,2,3,\dots )$
がわかる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$3^{n-1}+1$　①$\frac{1}{2}\mathrm{・}{3}^n+\frac{1}{2}$
②$3^{n-1}+n$　③$\frac{1}{2}\mathrm{・}{3}^n+n-\frac{1}{2}$
④$3^{n-1}+n^2$　⑤$\frac{1}{2}\mathrm{・}{3}^n+n^2-\frac{1}{2}$
⑥$2\mathrm{・}{3}^{n-1}$　⑦$\frac{5}{2}\mathrm{・}{3}^{n-1}-\frac{1}{2}$
⑧$2\mathrm{・}{3}^{n-1}+n-1$　⑨$\frac{5}{2}\mathrm{・}{3}^{n-1}+n-\frac{3}{2}$
ⓐ$2\mathrm{・}{3}^{n-1}+n^2-1$　ⓑ$\frac{5}{2}\mathrm{・}{3}^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}$

(2)歩行者が$y=300$の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく
回数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$回である。また、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$回目に自転車が歩行者に追いつく
時刻は、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}\mathrm{セ}}}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$a_n=n{3}_{100}^n{C}_n$
$b_n=n^2{2}_{100}^n{C}_n$
$(n=1,2,3\dots 100)$

（1）
$a_n$が最大となる$n$

（2）
$b_n$が最大となる$n$

出典：慶應義塾　過去問