福田の数学〜0と1の間に整数は存在しないなんて当たり前〜東京大学2018年文系第2問〜数列の増減と整数となる条件

問題文全文(内容文)：
数列

a_{1}, a_{2}

,・・・を

a_{n} = \frac{_{2} n C_{n}}{n!}

(n=1,2,・・・)で定める。
（１）

a_{7}

と１の大小を調べよ。
（２）

n ≧ 2

とする。

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} < 1

を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）

a_{n}

が整数となる

n ≧ 1

を全て求めよ。

2018東京大学文過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

a_{1}, a_{2}

,・・・を

a_{n} = \frac{_{2} n C_{n}}{n!}

(n=1,2,・・・)で定める。
（１）

a_{7}

と１の大小を調べよ。
（２）

n ≧ 2

とする。

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} < 1

を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）

a_{n}

が整数となる

n ≧ 1

を全て求めよ。

2018東京大学文過去問

投稿日：2024.01.07

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{n} = \tan \frac{π}{2^{n + 1}}

のとき

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

を求めよ

出典：2014年山口大学　入試問題

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Σ

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

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福田の数学〜東京理科大学2023年創域理工学部第1問(3)〜偶奇で定義の異なる漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)数列

{a_{n}}

は、

a_{1}

\frac{7}{5}

n

が偶数の時は

a_{n + 1}

\frac{1 + a_{n}}{2}

n

が奇数の時は

a_{n + 1}

\frac{2 + a_{n}}{2}

を満たすとする。このとき、

a_{2}

\frac{ヘ ホ}{マ ミ}

a_{3}

\frac{ム メ}{モ ヤ}

である。
さらに、自然数

k

に対して

a_{2 k + 1}

ユ

\frac{ヨ}{ラ} a_{2 k - 1}

となる。これを

a_{2 k + 1}

－

\frac{リ}{ル}

\frac{レ}{ロ} (a_{2 k - 1} - \frac{リ}{ル})

と変形することにより、

a_{2 k - 1}

\frac{1}{ワ ヲ} {(\frac{レ}{ロ})}^{k - 1}

\frac{リ}{ル}

が得られる。また、

a_{2 k}

\frac{1}{ン あ} {(\frac{い}{う})}^{k - 1}

\frac{え}{お}

も得られる。

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大学入試問題#69　高知大学(2012)　数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高知大学#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
各自然数

n

に対して

a_{n} > 0

S_{n} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + \frac{1}{2} a_{n} - 1

をみたす一般項

a_{n}

を求めよ。

出典：2012年高知大学　入試問題

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福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

素数を小さい順に並べて得られる数列を

p_{1}

p_{2}

, ...,

p_{n}

, ...
とする。
(1)

p_{15}

の値を求めよ。
(2)

n

≧12のとき、不等式

p_{n}

3 n

が成り立つことを示せ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜0と1の間に整数は存在しないなんて当たり前〜東京大学2018年文系第2問〜数列の増減と整数となる条件

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