福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第３問〜数列の部分和と一般項の関係

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問題文全文(内容文)：

3

　数列

{a_{n}}

に対して、

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。

{a_{n}}

は、

a_{2} = 1, a_{6} = 2

および
(*)

S_{n} = \frac{(n - 2) (n + 1)^{2}}{4} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。

(1)

a_{1} = - ア

である。(*)で

n = 4, 5

とすると、

a_{3} + a_{4}

と

a_{5}

の関係が2通り定まり、

a_{5} = イ

と求まる。さらに(*)で

n = 3

として、

a_{3} = ウ エ, a_{4} = オ カ

と求まる。

(2)

n ≧ 2

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから(*)とあわせて

(n - キ) (n + ク)^{2} a_{n + 1} = (n^{3} - ケ n^{2} + コ) a_{n} (n = 2, 3, \dots)

ゆえに、

n ≧ 3

ならば

(n + サ) a_{n + 1} = (n - シ) a_{n}

となる。そこで、

n ≧ 3

に
対して

b_{n} = (n - r) (n - s) (n - t) a_{n}

とおくと、漸化式

b_{n + 1} = b_{n} (n z - 3, 4, 5, \dots)

が成り立つ。ただしここに、

r < s < t

として

r = ス, s = セ, t = ソ

である。
したがって、

n ≧ 4

に対して

a_{n} = \frac{ソ a_{4}}{(n - r) (n - s) (n - t)}

となる。この式は

n = 3

の時も成立する。

(3)

n ≧ 2

に対して

S_{n} = \frac{チ ツ (n + テ) (n - ト)}{n (n - ナ)}

であるから、

S_{n} ≧ 59

となる最小の

n

は

n = ニ ヌ

である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　数列

{a_{n}}

に対して、

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。

{a_{n}}

は、

a_{2} = 1, a_{6} = 2

および
(*)

S_{n} = \frac{(n - 2) (n + 1)^{2}}{4} a_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする。

(1)

a_{1} = - ア

である。(*)で

n = 4, 5

とすると、

a_{3} + a_{4}

と

a_{5}

の関係が2通り定まり、

a_{5} = イ

と求まる。さらに(*)で

n = 3

として、

a_{3} = ウ エ, a_{4} = オ カ

と求まる。

(2)

n ≧ 2

に対して

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

であるから(*)とあわせて

(n - キ) (n + ク)^{2} a_{n + 1} = (n^{3} - ケ n^{2} + コ) a_{n} (n = 2, 3, \dots)

ゆえに、

n ≧ 3

ならば

(n + サ) a_{n + 1} = (n - シ) a_{n}

となる。そこで、

n ≧ 3

に
対して

b_{n} = (n - r) (n - s) (n - t) a_{n}

とおくと、漸化式

b_{n + 1} = b_{n} (n z - 3, 4, 5, \dots)

が成り立つ。ただしここに、

r < s < t

として

r = ス, s = セ, t = ソ

である。
したがって、

n ≧ 4

に対して

a_{n} = \frac{ソ a_{4}}{(n - r) (n - s) (n - t)}

となる。この式は

n = 3

の時も成立する。

(3)

n ≧ 2

に対して

S_{n} = \frac{チ ツ (n + テ) (n - ト)}{n (n - ナ)}

であるから、

S_{n} ≧ 59

となる最小の

n

は

n = ニ ヌ

である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問

投稿日：2021.07.07

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a_{n}

}の一般項を求めよ。

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2008長岡技術科学大学過去問題
①

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - \frac{1}{4}}

を求めよ
②

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \frac{5}{3}

を示せ

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これ説明できる？

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1,4,9,16,25…この一般項を求めよ。

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n

は自然数である.

79^{n} + (- 1)^{n} {.2}^{6 n - 5}

は必ずある自然数であるとき,

m

の倍数と最大値を求めよ.

東工大過去問

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