問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}} \ a,\ hを正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が、\hspace{110pt}\\
直線x=hからの距離のa倍であるような点Pの軌跡を考える。点Pの座標を(x,\ y)とする\\
と、x,\ y\ は次の方程式を満たす。\\
(1-\boxed{\ \ ア\ \ })\ x^2+2\ \boxed{\ \ イ\ \ }\ x+y^2=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \ \ \ \ ...(1) \\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ の解答群\\
⓪a^2\ \ \ ①h^2\ \ \ ②a^3\ \ \ ③a^2h\ \ \ ④ah^2\ \ \ \\
⑤h^3\ \ \ ⑥a^4\ \ \ ⑦a^2h^2\ \ \ ⑧ah^3\ \ \ ⑨h^4\ \ \ \\
\\
次に、座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標を考える。\\
点Pの極座標を(r\ θ)とする。r \leqq hを満たすとき、点Pの直交座標(x,\ y)をa,\ h,\ θ\\
を用いて表すと\\
(x,\ y)=(\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}\ \sin θ)\ \ \ \ \ ...(2) \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ },\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
⓪h\ \ \ ①ah\ \ \ ②h^2\ \ \ ③ah^2\ \ \ ④1+a\cos θ\ \ \ \\
⑤1+a\sin θ\ \ \ ⑥a\cos θ-1\ \ \ ⑦a\sin θ-1\ \ \ ⑧1-a\cos θ\ \ \ ⑨1-a\sin θ\ \ \ \\
\\
(1)から、a=\boxed{\ \ カ\ \ }のとき、点Pの軌跡は放物線\ x=\boxed{\ \ キ\ \ }\ y^2+\boxed{\ \ ク\ \ }となる。\\
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積Sは\\
S=2\int_0^{\boxed{\ \ ケ\ \ }}xdy=2\int_0^{\boxed{\ \ ケ\ \ }}(\boxed{\ \ キ\ \ }\ y^2+\boxed{\ \ ク\ \ })dy=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\ h^2\\
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ },\ \boxed{\ \ ク\ \ },\ \boxed{\ \ ケ\ \ }\ の解答群\\
⓪h\ \ \ ①2h\ \ \ ②\frac{h}{2}\ \ \ ③-\frac{h}{2}\ \ \ ④\frac{1}{h}\ \ \ \\
⑤-\frac{1}{h}\ \ \ ⑥\frac{1}{2h}\ \ \ ⑦-\frac{1}{2h}\ \ \ ⑧h^2\ \ \ ⑨-h^2\ \ \
\end{eqnarray}

2022明治大学全統理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}　極方程式で表されたxy平面上の曲線r=1+\cos\theta(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)をCとする。\\
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、\frac{dx}{d\theta}=0となる点、および\\
\frac{dy}{d\theta}=0となる点の直交座標を求めよ。\\
(2)\lim_{\theta \to \pi}\frac{dy}{dx}を求めよ。\\
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。\\
(4)曲線Cの長さを求めよ。
\end{eqnarray}

2016神戸大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
tractrixと呼ばれる媒介変数で表される曲線が持つ性質に関する証明です。あまり有名ではないものの、高校数学で十分証明が可能なものになります。入試にも出題される可能性が高いかと思われますので、ぜひご覧ください。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ 座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え\hspace{10pt}\\
る。平面上を運動する点Pの極座標(r,\ θ)が、時刻t \geqq 0の関数として、\hspace{39pt}\\
r=1+t,\ \ \ θ=\log(1+t)\hspace{100pt}\\
で与えられるとする。時刻t=0にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで\\
にPが描く軌跡をCとする。\hspace{191pt}\\
(1)\ t \gt 0において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。\hspace{30pt}\\
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。\hspace{147pt}\\
(3)Cの長さを求めよ。\hspace{210pt}\\
(4)Cを座標平面上に図示せよ。\hspace{177pt}\\
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\hspace{109pt}\\
\end{eqnarray}

2022上智大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$　(0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問