問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ 実数$a$に対して$f(a)$=${\displaystyle \frac{1}{2}(2^a-2^{-a})}$とおく。また、$A$=$2^a$とする。
(1)等式${\displaystyle {(A-\frac{1}{A})}^3}$=${\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}{(A-\frac{1}{A})}^3}$－${\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}(A-\frac{1}{A})}$　より、実数$a$に対して
${\{f(a)\}}^3$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}f(3a)$－$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}f(a)$　...①が成り立つ。
(2)実数$a$,$b$に対して$f(a)$=$b$が成り立つならば、$A$=$2^a$は2次方程式
$A^2$－$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}bA$－$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$=0
を満たす。$2^a$>0より、$a$は$b$を用いて
$a$=${\log }_2(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}b+\sqrt{b^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}})$　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して$f(a)$=$b$となる実数$a$が、ただ1つに定まる。
以下、数列$\left\{a_n\right\}$に対して$f(a_n)$=$b_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{b_n\right\}$が、関係式
$4b_{n+1}^3$+$3b_{n+1}$－$b_n$=0　($n$=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から$f\left(\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}{a}_{n+1}\right)$=$f(a_n)$　($n$=1,2,3,...)となるので、(2)より、
$a_n$=${\displaystyle \frac{a_1}{{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}^{n-p}}}$　($n$=1,2,3,...)が得られる。ここで、$p$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
(4)$n$≧2に対して、$S_n$=${\displaystyle \sum _{k=2}^n{3}^{k-1}{b}_k^3}$　とおく。$c_n$=$3^n{b}_n$　($n$=1,2,3,...)で定まる数列$\left\{c_n\right\}$の階差数列を用いると、③より、
$S_n$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{b}_1$－$\frac{{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}^n}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}{b}_n$　($n$=2,3,4,...)
となる。ゆえに、$b_1$=${\displaystyle \frac{4}{3}{S}_5}$－108　が成り立つならば$a_1$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}\mathrm{ト}}}{\log }_2\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}$　である。