問題文全文(内容文)：
$a_0=b_0=1$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{a_n^2+b_n^2}}$

$b_{n+1}=2-{\displaystyle \frac{b_n}{a_n^2+b_n^2}}$

一般項$a_n,b_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また
$n\geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\mathrm{・}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}(1-{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}^{-n})}}$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=A{r}_n+B{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}, B=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。
以上から、$t_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=C{r}_{n-1}+D{t}_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}, D=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+････+n^4}{n^5}}}$
これを求めよ。

産業医科大過去問

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1)$a_1=10$, $a_{n+1}=2a_n+2^{n+2}$
(2)$a_1=3$, $a_{n+1}=6a_n+3^{n+1}$

問題文全文(内容文)：
$a_{n+2}=4(a_{n+1}-a_n)$$(n=1,2,3,...)$
$a_1=2,a_2=16$
(1)$b_n=a_{n+1}-2a_n$$(n=1,2,3,...)$と置いて$b_n$を求めよ。
(2)$a_n$を求めよ。

2023明治大学全統過去問