問題文全文(内容文)：
2008長岡技術科学大学過去問題
①${\displaystyle \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-\frac{1}{4}}}$を求めよ
②${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}}$を示せ

問題文全文(内容文)：
次のように定義される数列$a_n$の一般項$a_n$を求めよ。
（1）
$a_1=1,$　　$a_{n+1}=a_n+3$

（2）
$a_1=2,$　　$a_{n+1}=3a_n$

（3）
$a_1=-1,$　　$a_{n+1}=a_n+6n-2$

（4）
$a_1=1,$　　$a_{n+1}=a_n+2^{n-1}$

問題文全文(内容文)：
(1)三角形$ABC$の内接円が辺$AB$と接する点をPとし、
辺$BC$と接する点を$Q$とし、辺$CA$と接する点をRとする。
$\mathrm{\angle }A$の大きさを$\theta$とすると、$\mathrm{\angle }APR=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$であり、
$\mathrm{\angle }PQR=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}0\mathrm{①}\frac{\pi }{2}\mathrm{②}\theta \mathrm{③}\frac{\theta }{2}\mathrm{④}\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{⑤}\frac{\pi -\theta }{2}$
$\mathrm{⑥}\pi -\frac{\theta }{2}\mathrm{⑦}\pi -\theta \mathrm{⑧}\frac{\pi -3\theta }{2}\mathrm{⑨}\frac{\pi }{2}-3\theta$

(2)三角形$T_1$の3つの角のうち、角の大きさが最小のものは$\frac{\pi }{6}$で、
最大のものは$\frac{\pi }{2}$であるとする。
$n=1,2,3,...$について、三角形$T_n$の内接円を$O_n$とし、
$T_n$と$O_n$とが接する3つの点を頂点とするような三角形を$T_{n+1}$とする。
このとき、三角形$T_2$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものは$\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}$で、
最大のものは$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}}}$である。
$n=1,2,3,...$について、三角形$T_n$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものを$a_n$とし、最大のものを$b_n$とする。三角形$T_{n+1}$について、
$a_{n+1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}},b_{n+1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$
と表せる。この式より
$a_n+b_n=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}\pi ,$
$b_n-a_n=\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}\mathrm{・}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}^{n-1}}$
であり、$a_n=\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}(1-\frac{1}{{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}^n})$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}\frac{a_n}{2}\mathrm{①}\frac{b_n}{2}\mathrm{②}\frac{\pi }{2}-a_n\mathrm{③}\frac{\pi }{2}-b_n\mathrm{④}\frac{\pi -a_n}{2}$
$\mathrm{⑤}\frac{\pi -b_n}{2}\mathrm{⑥}\pi -\frac{a_n}{2}\mathrm{⑦}\pi -\frac{b_n}{2}\mathrm{⑧}\pi -a_n\mathrm{⑨}\pi -b_n$

2022明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
$a_1=2,b_1=1$
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{7}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{4}{3}}{b}_n+n$
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{3}}{b}_n-n$

2021室蘭工大過去問

問題文全文(内容文)：
[i]①＿＿＿＿のとき成り立つことを確かめる。
[ii]②＿＿＿＿のとき成り立つと③＿＿＿＿ して、それを使って④＿＿＿＿ のときに成り立つことをいう。

[iii]『以上より、すべての自然数に ついて成り立つ』と書こう!

◎$n$を自然数とするとき、$3^n>2n$を証明しよう!

[i]⑤＿＿＿＿のとき、⑥＿＿＿＿ より成り立つ。

[ii]⑦＿＿＿＿のとき成り立つと⑧すると
⑨

⑩＿＿＿＿のとき、⑪＿＿＿＿ を考えると
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{⑫}}}$

つまり $3^{k+1}>2(k+1)$となり
$n=k+1$のとき成り立つ。

[ iii] 以上より、すべての自然数について成り立つ。