福田の数学〜神戸大学2024年文系第2問〜さいころの目と約数に関する確率

問題文全文(内容文)：

2

n

を自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)1個のサイコロを投げて出た目が必ず

n

の約数となるような

n

で最小のものを求めよ。
(2)1個のサイコロを投げて出た目が

n

の約数となる確率が

\frac{5}{6}

であるような

n

で最小のものを求めよ。
(3)1個のサイコロを3回投げて出た目の積が20の約数となる確率を求めよ。

単元： #数A#場合の数と確率#整数の性質#確率#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#神戸大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

n

を自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)1個のサイコロを投げて出た目が必ず

n

の約数となるような

n

で最小のものを求めよ。
(2)1個のサイコロを投げて出た目が

n

の約数となる確率が

\frac{5}{6}

であるような

n

で最小のものを求めよ。
(3)1個のサイコロを3回投げて出た目の積が20の約数となる確率を求めよ。

投稿日：2024.06.13

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
ジョーカーを除く1組52枚のトランプのカードを1列に並べる思考を考える。
(1)番号7のカードが4枚連続して並ぶ確率を求めよ。
(2)番号7のカードが2枚ずつ隣り合い、4枚連続しては並ばない確率を求めよ。

8人の人が一列に並ぶとき、
(1)A,B,Cの3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。
(2)A,B,Cの3人が隣りあわないように並ぶ場合の数を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とし、

C_{1}

,...,

C_{n}

を

n

枚の硬貨とする。各

k

=1,...,

n

に対し、硬貨

C_{k}

を投げて表が出る確率を

p_{k}

、裏が出る確率を1－

p_{k}

とする。この

n

枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1)

p_{k}

\frac{1}{3}

(

k

=1,...,

n

)のとき、このゲームで成功する確率

X_{n}

を求めよ。
(2)

p_{k}

\frac{1}{2 (k + 1)}

(

k

=1,...,

n

)のとき、このゲームで成功する確率

Y_{n}

を求めよ。
(3)

n

3 m

(

m

は正の定数)で

k

=1,...,

3 m

に対して

p_{k}

{\begin{matrix} \frac{1}{3 m} (k = 1, . . ., m) \\ \frac{2}{3 m} (k = m + 1, . . ., 2 m) \\ \frac{1}{m} (k = 2 m + 1, . . ., 3 m) \end{matrix}

とする。このゲームで成功する確率を

Z_{3 m}

とするとき、

lim_{m \to \infty} Z_{3 m}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

n

を2以上の自然数とする。1個のさいころを続けて

n

回投げる試行を行い,出た目を順に

X_{1}, X_{2}, ･ ･ ･, X_{n}

とする。

(1)

X_{1}, X_{2}, ･ ･ ･, X_{n}

の最大公約数が3となる確率を

n

の式で表せ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜神戸大学2024年文系第2問〜さいころの目と約数に関する確率

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