問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 初項$a_1=1$, 公差4の等差数列$\left\{a_n\right\}$を考える。以下の問いに答えよ。
(1) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。
(2) $\left\{a_n\right\}$の初項から第600項のうち、$7^2$の倍数である項の個数を求めよ。
(3) 初項から第n項までの積$a_1a_2\cdots a_n$が$7^{45}$の倍数となる最小の自然数nを求めよ。

2017九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
$$1^{ 2 }・2+2^{ 2 }・3+3^{ 2 }・4+\cdots+n^{ 2 }・(n+1)$$

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$　数列$\left\{a_n\right\}$に対して、
$S_n=\sum_{k=1}^na_k　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。$\left\{a_n\right\}$は、$a_2=1,a_6=2$および
(*)$S_n=\frac{(n-2)(n+1)^2}{4}a_{n+1}　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。

(1)$a_1=-\boxed{\ \ ア\ \ }$である。(*)で$n=4,5$とすると、$a_3+a_4$と$a_5$の関係が2通り定まり、
$a_5=\boxed{\ \ イ\ \ }$と求まる。さらに(*)で$n=3$として、$a_3=\boxed{\ \ ウエ\ \ },a_4=\boxed{\ \ オカ\ \ }$と求まる。

(2)$n \geqq 2$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから(*)とあわせて
$(n-\boxed{\ \ キ\ \ })(n+\boxed{\ \ ク\ \ })^2a_{n+1}=(n^3-\boxed{\ \ ケ\ \ }n^2+\boxed{\ \ コ\ \ })a_n　(n=2,3,\ldots)$

ゆえに、$n \geqq 3$ならば$(n+\boxed{\ \ サ\ \ })a_{n+1}=(n-\boxed{\ \ シ\ \ })a_n$となる。そこで、$n \geqq 3$に
対して$b_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_n$とおくと、漸化式
$b_{n+1}=b_n　(nz-3,4,5,\ldots)$
が成り立つ。ただしここに、$r \lt s \lt t$として$r=\boxed{\ \ ス\ \ },s=\boxed{\ \ セ\ \ },t=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
したがって、$n \geqq 4$に対して
$a_n=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }a_4}{(n-r)(n-s)(n-t)}$
となる。この式は$n=3$の時も成立する。

(3)$n \geqq 2$に対して
$S_n=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }(n+\boxed{\ \ テ\ \ })(n-\boxed{\ \ ト\ \ })}{n(n-\boxed{\ \ ナ\ \ })}$
であるから、$S_n \geqq 59$となる最小の$n$は$n=\boxed{\ \ ニヌ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
①$n\geqq 10$を満たす自然数$n$に対して,
$2^n \gt 10n^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明しよう.

問題文全文(内容文)：
次のように定義された数列を$\{a_n\}$とする。
$a_1=r^2,a_2=1,2a_n=(r+3)a_{n-1}-(r+1)a_{n-2}(n \geqq 3)$
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき、$b_n$を$n$と$r$を用いて表せ。
（2）$a_n$を求めよ。
（3）数列$\{a_n\}$が収束するような$r$の範囲およびそのときの極限値を求めよ。