問題文全文(内容文)：
次の無限級数の和を求めよう。
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{5^n}\right)$

問題文全文(内容文)：
$m,n$：自然数
$m \geqq 2$
$f(\theta)=\displaystyle \frac{\sin\ n\theta}{\cos\ n\theta+m}$の最大値を$\alpha(m,n)$とする
$\displaystyle \sum_{m=2}^\infty \{\alpha(m,n)\}^2$を求めよ

問題文全文(内容文)：
(1) すべての自然数$n$に対して
$\begin{eqnarray}\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{(-1)^{k-1}}{k} =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{1}{m+k} & (n が偶数(n = 2m)のとき) \\
\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{1}{m-1+k} & ( nが奇数(n = 2m-1)のとき )
\end{cases}
\end{eqnarray}$
を証明せよ.

(2) (1)の左辺において$n \to \infty$として, 区分求積法を用いて無限級数
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$
の和の値を求めよ.

(3) (2)の無限級数の項の順序を入れ替えてできる無限級数
$1\underbrace{ -\frac{1}{2}-\frac{1}{4} }_{ 2項 }+\displaystyle \frac{1}{3}\underbrace{ -\frac{1}{6}-\frac{1}{8} }_{ 2項 }+\displaystyle \frac{1}{5}\underbrace{ -\frac{1}{10}-\frac{1}{12} }_{ 2項 }+\cdots$
の和の値を求めよ.

(4) 上の結果からどのようなことが考察されるか.「有限」と「無限」という言葉を用いて述べよ.

問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求めよ。

①$y=\dfrac{3x-5}{x-2} \quad (x \gt 2)$

②$y=\dfrac{2x-1}{x+1} \quad (x \gt -1)$

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
$(1)$ 関数 $\displaystyle{y=\frac{x}{x^2+1}}$ の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフを描け。
$(2)$ $k$ を自然数とする。曲線 $\displaystyle{y=\frac{x}{x^2+1}}$ と $x$ 軸および2直線 $x=k$, $x=k+1$ で囲まれた図形の面積を $k$ を用いて表せ。
$(3)$ 無限級数
\begin{equation*}
\frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1}+\cdots
\end{equation*}
の収束、発散を調べよ。